Cálculo Exemplos

$f (x) = 5 x + 4$ , $[2, 5]$

Etapa 1

Encontre a derivada de $f (x) = 5 x + 4$ .

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 + 0$

Etapa 1.1.3.2

Some $5$ e $0$ .

$f' (x) = 5$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $5$ .

$5$

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

$f' (x)$ é contínuo em $[2, 5]$ .

$f' (x)$ é contínuo

Etapa 4

O valor médio da função $f'$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 5

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{2}^{5} 5 d x)$

Etapa 6

Aplique a regra da constante.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (5 x]_{2}^{5})$

Etapa 7

Substitua e simplifique.

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Etapa 7.1

Avalie $5 x$ em $5$ e em $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} ((5 \cdot 5) - 5 \cdot 2)$

Etapa 7.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.1

Multiplique $5$ por $5$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (25 - 5 \cdot 2)$

Etapa 7.2.2

Multiplique $- 5$ por $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (25 - 10)$

Etapa 7.2.3

Subtraia $10$ de $25$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (15)$

Etapa 8

Subtraia $2$ de $5$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot 15$

Etapa 9

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 9.1

Fatore $3$ de $15$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 (5))$

Etapa 9.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 5)$

Etapa 9.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = 5$

Etapa 10