Cálculo Exemplos

$y = 3 x^{3} - 2 x$ , $(1, 1)$

Etapa 1

Se $f$ for contínua no intervalo $[a, b]$ e diferenciável em $(a, b)$ , então pelo menos um número real $c$ existirá no intervalo $(a, b)$ , de modo que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . O teorema do valor médio expressa a relação entre a inclinação da tangente à curva em $x = c$ e a inclinação da reta através dos pontos $(a, f (a))$ e $(b, f (b))$ .

Se $f (x)$ for contínuo em $[a, b]$

e se $f (x)$ for diferenciável em $(a, b)$ ,

então, existe ao menos um ponto, $c$ em $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Etapa 2

Verifique se $f (x) = 3 x^{3} - 2 x$ é contínua.

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Etapa 2.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 2.2

$f (x)$ é contínuo em $[1, 1]$ .

A função é contínua.

Etapa 3

Encontre a derivada.

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Etapa 3.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 3.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{3} - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 3.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Etapa 3.1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{3}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 3.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 3.1.2.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 3.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Etapa 3.1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$9 x^{2} - 2 \cdot 1$

Etapa 3.1.3.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 2$

Etapa 3.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $9 x^{2} - 2$ .

$9 x^{2} - 2$

Etapa 4

Find if the derivative is continuous on No solution.

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Etapa 4.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4.2

$f' (x)$ é contínuo em $Nenhuma solução$ .

A função é contínua.

Etapa 5

A função é diferenciável em $Nenhuma solução$ , porque a derivada é contínua em $Nenhuma solução$ .

A função é diferenciável.

Etapa 6

$f (x)$ satisfaz as duas condições do teorema do valor médio. É contínuo em $[1, 1]$ e diferenciável em $Nenhuma solução$ .

Nenhuma solução

Etapa 7

Avalie $f (a)$ a partir do intervalo $[1, 1]$ .

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = 3 {(1)}^{3} - 2 \cdot 1$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = 3 \cdot 1 - 2 \cdot 1$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$f (1) = 3 - 2 \cdot 1$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f (1) = 3 - 2$

Etapa 7.2.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$f (1) = 1$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 8

A equação tem uma fração indefinida.

Indefinido

Etapa 9

There are no solution, so there is no $x$ value where the tangent line is parallel to the line that passes through the end points $a = 1$ and $b = 1$ .

No x value found where the tangent line at x is parallel to the line that passes through the end points $a = 1$ and $b = 1$

Etapa 10