Cálculo Exemplos

f (x) = 7 - 7 x^{2}

$f (x) = 7 - 7 x^{2}$ ,

(- 4, 5)

$(- 4, 5)$

Etapa 1

f

$f$ for contínua no intervalo

[a, b]

$[a, b]$ e diferenciável em

(a, b)

$(a, b)$ , então pelo menos um número real

c

$c$ existirá no intervalo

(a, b)

$(a, b)$ , de modo que

f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}

$f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . O teorema do valor médio expressa a relação entre a inclinação da tangente à curva em

x = c

$x = c$ e a inclinação da reta através dos pontos

(a, f (a))

$(a, f (a))$ e

(b, f (b))

$(b, f (b))$ .

f (x)

$f (x)$ for contínuo em

[a, b]

$[a, b]$

e se

f (x)

$f (x)$ for diferenciável em

(a, b)

$(a, b)$ ,

então, existe ao menos um ponto,

c

$c$ em

[a, b]

$[a, b]$ :

f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}

$f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Etapa 2

Verifique se

f (x) = 7 - 7 x^{2}

$f (x) = 7 - 7 x^{2}$ é contínua.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

(- \infty, \infty)

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 2.2

$f (x)$ é contínuo em

$[- 4, 5]$ .

A função é contínua.

Etapa 3

Encontre a derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de

$7 - 7 x^{2}$ com relação a

$x$ é

$\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Etapa 3.1.1.2

Como

$7$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$7$ em relação a

$x$ é

$0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Etapa 3.1.2

Avalie

$\frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Como

$- 7$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$- 7 x^{2}$ em relação a

$x$ é

$- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

$n x^{n - 1}$ , em que

$n = 2$ .

$0 - 7 (2 x)$

Etapa 3.1.2.3

Multiplique

$2$ por

$- 7$ .

$0 - 14 x$

Etapa 3.1.3

Subtraia

$14 x$ de

$0$ .

$f' (x) = - 14 x$

Etapa 3.2

A primeira derivada de

$f (x)$ com relação a

$x$ é

$- 14 x$ .

$- 14 x$

Etapa 4

Determine se a derivada é contínua em

$(- 4, 5)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4.2

$f' (x)$ é contínuo em

$(- 4, 5)$ .

A função é contínua.

Etapa 5

A função é diferenciável em

$(- 4, 5)$ , porque a derivada é contínua em

$(- 4, 5)$ .

A função é diferenciável.

Etapa 6

$f (x)$ satisfaz as duas condições do teorema do valor médio. É contínuo em

$[- 4, 5]$ e diferenciável em

$(- 4, 5)$ .

$f (x)$ é contínuo em

$[- 4, 5]$ e diferenciável em

$(- 4, 5)$ .

Etapa 7

Avalie

$f (a)$ a partir do intervalo

$[- 4, 5]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável

$x$ por

$- 4$ na expressão.

$f (- 4) = 7 - 7 {(- 4)}^{2}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve

$- 4$ à potência de

$2$ .

$f (- 4) = 7 - 7 \cdot 16$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique

$- 7$ por

$16$ .

$f (- 4) = 7 - 112$

Etapa 7.2.2

Subtraia

$112$ de

$7$ .

$f (- 4) = - 105$

Etapa 7.2.3

A resposta final é

$- 105$ .

$- 105$

Etapa 8

Avalie

$f (b)$ a partir do intervalo

$[- 4, 5]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável

$x$ por

$5$ na expressão.

$f (5) = 7 - 7 {(5)}^{2}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Eleve

$5$ à potência de

$2$ .

$f (5) = 7 - 7 \cdot 25$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique

$- 7$ por

$25$ .

$f (5) = 7 - 175$

Etapa 8.2.2

Subtraia

$175$ de

$7$ .

$f (5) = - 168$

Etapa 8.2.3

A resposta final é

$- 168$ .

$- 168$

Etapa 9

Resolva

$- 14 x = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ para

$x$ .

$- 14 x = \frac{- (f (5) + f (- 4))}{- (5 - 4)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Multiplique

$- 1$ por

$- 105$ .

$- 14 x = \frac{- 168 + 105}{(5) - (- 4)}$

Etapa 9.1.2

Multiplique

$- 1$ por

$- 4$ .

$- 14 x = \frac{- 168 + 105}{5 + 4}$

Etapa 9.1.3

Some

$- 168$ e

$105$ .

$- 14 x = \frac{- 63}{5 + 4}$

Etapa 9.1.4

Some

$5$ e

$4$ .

$- 14 x = \frac{- 63}{9}$

Etapa 9.1.5

Divida

$- 63$ por

$9$ .

$- 14 x = - 7$

Etapa 9.2

Divida cada termo em

$- 14 x = - 7$ por

$- 14$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Divida cada termo em

$- 14 x = - 7$ por

$- 14$ .

$\frac{- 14 x}{- 14} = \frac{- 7}{- 14}$

Etapa 9.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1

Cancele o fator comum de

$- 14$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 14 x}{- 14} = \frac{- 7}{- 14}$

Etapa 9.2.2.1.2

Divida

$x$ por

$1$ .

$x = \frac{- 7}{- 14}$

Etapa 9.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.3.1

Cancele o fator comum de

$- 7$ e

$- 14$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.3.1.1

Fatore

$- 7$ de

$- 7$ .

$x = \frac{- 7 (1)}{- 14}$

Etapa 9.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.3.1.2.1

Fatore

$- 7$ de

$- 14$ .

$x = \frac{- 7 \cdot 1}{- 7 \cdot 2}$

Etapa 9.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{- 7 \cdot 1}{- 7 \cdot 2}$

Etapa 9.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 10

Existe uma reta tangente em

$x = \frac{1}{2}$ paralela à reta que atravessa os pontos finais

$a = - 4$ e

$b = 5$

Existe uma reta tangente em

$x = \frac{1}{2}$ paralela à reta que atravessa os pontos finais

$a = - 4$ e

$b = 5$

Etapa 11