Cálculo Exemplos

$f (x) = 7 - 7 x^{2}$ , $(- 4, 5)$

Etapa 1

Se $f$ for contínua no intervalo $[a, b]$ e diferenciável em $(a, b)$ , então pelo menos um número real $c$ existirá no intervalo $(a, b)$ , de modo que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . O teorema do valor médio expressa a relação entre a inclinação da tangente à curva em $x = c$ e a inclinação da reta através dos pontos $(a, f (a))$ e $(b, f (b))$ .

Se $f (x)$ for contínuo em $[a, b]$

e se $f (x)$ for diferenciável em $(a, b)$ ,

então, existe ao menos um ponto, $c$ em $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Etapa 2

Verifique se $f (x) = 7 - 7 x^{2}$ é contínua.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 2.2

$f (x)$ é contínuo em $[- 4, 5]$ .

A função é contínua.

Etapa 3

Encontre a derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 - 7 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Etapa 3.1.1.2

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Etapa 3.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 - 7 (2 x)$

Etapa 3.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 7$ .

$0 - 14 x$

Etapa 3.1.3

Subtraia $14 x$ de $0$ .

$f' (x) = - 14 x$

Etapa 3.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 14 x$ .

$- 14 x$

Etapa 4

Determine se a derivada é contínua em $(- 4, 5)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4.2

$f' (x)$ é contínuo em $(- 4, 5)$ .

A função é contínua.

Etapa 5

A função é diferenciável em $(- 4, 5)$ , porque a derivada é contínua em $(- 4, 5)$ .

A função é diferenciável.

Etapa 6

$f (x)$ satisfaz as duas condições do teorema do valor médio. É contínuo em $[- 4, 5]$ e diferenciável em $(- 4, 5)$ .

$f (x)$ é contínuo em $[- 4, 5]$ e diferenciável em $(- 4, 5)$ .

Etapa 7

Avalie $f (a)$ a partir do intervalo $[- 4, 5]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f (- 4) = 7 - 7 {(- 4)}^{2}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f (- 4) = 7 - 7 \cdot 16$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $- 7$ por $16$ .

$f (- 4) = 7 - 112$

Etapa 7.2.2

Subtraia $112$ de $7$ .

$f (- 4) = - 105$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 105$ .

$- 105$

Etapa 8

Avalie $f (b)$ a partir do intervalo $[- 4, 5]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $5$ na expressão.

$f (5) = 7 - 7 {(5)}^{2}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f (5) = 7 - 7 \cdot 25$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $- 7$ por $25$ .

$f (5) = 7 - 175$

Etapa 8.2.2

Subtraia $175$ de $7$ .

$f (5) = - 168$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $- 168$ .

$- 168$

Etapa 9

Resolva $- 14 x = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ para $x$ . $- 14 x = \frac{- (f (5) + f (- 4))}{- (5 - 4)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 105$ .

$- 14 x = \frac{- 168 + 105}{(5) - (- 4)}$

Etapa 9.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$- 14 x = \frac{- 168 + 105}{5 + 4}$

Etapa 9.1.3

Some $- 168$ e $105$ .

$- 14 x = \frac{- 63}{5 + 4}$

Etapa 9.1.4

Some $5$ e $4$ .

$- 14 x = \frac{- 63}{9}$

Etapa 9.1.5

Divida $- 63$ por $9$ .

$- 14 x = - 7$

Etapa 9.2

Divida cada termo em $- 14 x = - 7$ por $- 14$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Divida cada termo em $- 14 x = - 7$ por $- 14$ .

$\frac{- 14 x}{- 14} = \frac{- 7}{- 14}$

Etapa 9.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 14$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 14 x}{- 14} = \frac{- 7}{- 14}$

Etapa 9.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 7}{- 14}$

Etapa 9.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.3.1

Cancele o fator comum de $- 7$ e $- 14$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.3.1.1

Fatore $- 7$ de $- 7$ .

$x = \frac{- 7 (1)}{- 14}$

Etapa 9.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.3.1.2.1

Fatore $- 7$ de $- 14$ .

$x = \frac{- 7 \cdot 1}{- 7 \cdot 2}$

Etapa 9.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{- 7 \cdot 1}{- 7 \cdot 2}$

Etapa 9.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 10

Existe uma reta tangente em $x = \frac{1}{2}$ paralela à reta que atravessa os pontos finais $a = - 4$ e $b = 5$

Etapa 11