Cálculo Exemplos

$f (x) = 4 x - 2$ , $(1, 3)$

Etapa 1

Se $f$ for contínua no intervalo $[a, b]$ e diferenciável em $(a, b)$ , então pelo menos um número real $c$ existirá no intervalo $(a, b)$ , de modo que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . O teorema do valor médio expressa a relação entre a inclinação da tangente à curva em $x = c$ e a inclinação da reta através dos pontos $(a, f (a))$ e $(b, f (b))$ .

Se $f (x)$ for contínuo em $[a, b]$

e se $f (x)$ for diferenciável em $(a, b)$ ,

então, existe ao menos um ponto, $c$ em $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Etapa 2

Verifique se $f (x) = 4 x - 2$ é contínua.

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Etapa 2.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 2.2

$f (x)$ é contínuo em $[1, 3]$ .

A função é contínua.

Etapa 3

Encontre a derivada.

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Etapa 3.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 3.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 3.1.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.1.2.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 + 0$

Etapa 3.1.3.2

Some $4$ e $0$ .

$f' (x) = 4$

Etapa 3.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4$ .

$4$

Etapa 4

Determine se a derivada é contínua em $(1, 3)$ .

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Etapa 4.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4.2

$f' (x)$ é contínuo em $(1, 3)$ .

A função é contínua.

Etapa 5

A função é diferenciável em $(1, 3)$ , porque a derivada é contínua em $(1, 3)$ .

A função é diferenciável.

Etapa 6

$f (x)$ satisfaz as duas condições do teorema do valor médio. É contínuo em $[1, 3]$ e diferenciável em $(1, 3)$ .

$f (x)$ é contínuo em $[1, 3]$ e diferenciável em $(1, 3)$ .

Etapa 7

Avalie $f (a)$ a partir do intervalo $[1, 3]$ .

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = 4 (1) - 2$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Multiplique $4$ por $1$ .

$f (1) = 4 - 2$

Etapa 7.2.2

Subtraia $2$ de $4$ .

$f (1) = 2$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $2$ .

$2$

Etapa 8

Avalie $f (b)$ a partir do intervalo $[1, 3]$ .

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f (3) = 4 (3) - 2$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Multiplique $4$ por $3$ .

$f (3) = 12 - 2$

Etapa 8.2.2

Subtraia $2$ de $12$ .

$f (3) = 10$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $10$ .

$10$

Etapa 9

Resolva $4 = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ para $x$ . $4 = \frac{- (f (3) + f (1))}{- (3 + 1)}$ .

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Etapa 9.1

Simplifique $\frac{(10) - (2)}{(3) - (1)}$ .

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Etapa 9.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.1.1.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$4 = \frac{10 - 2}{3 - (1)}$

Etapa 9.1.1.2

Subtraia $2$ de $10$ .

$4 = \frac{8}{3 - (1)}$

Etapa 9.1.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 9.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$4 = \frac{8}{3 - 1}$

Etapa 9.1.2.2

Subtraia $1$ de $3$ .

$4 = \frac{8}{2}$

Etapa 9.1.3

Divida $8$ por $2$ .

$4 = 4$

Etapa 9.2

Como $4 = 4$ , a equação sempre será verdadeira.

Sempre verdadeiro

Etapa 10

O gráfico é uma linha reta. Existe uma reta tangente em cada $x$ na curva, que é paralela à reta que atravessa os pontos finais $a = 1$ e $b = 3$ .

Existe uma reta tangente em cada x na curva, que é paralela à reta que atravessa os pontos finais $a = 1$ e $b = 3$

Etapa 11