Cálculo Exemplos

$y = (\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) (x^{2} + 1)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) (x^{2} + 1))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

$(\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}]$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}]$

Etapa 3.2.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$(\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) (2 x + 0) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}]$

Etapa 3.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$(\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) (2 x) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}]$

Etapa 3.2.4.2

Mova $2$ para a esquerda de $\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}$ .

$2 \cdot (\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) x + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}]$

Etapa 3.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{x}{3.5}] + \frac{d}{d x} [\frac{3.5}{x}]$ .

$2 (\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [\frac{x}{3.5}] + \frac{d}{d x} [\frac{3.5}{x}])$

Etapa 3.2.6

Como $\frac{1}{3.5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{3.5}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3.5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{3.5}{x}])$

Etapa 3.2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{3.5}{x}])$

Etapa 3.2.8

Multiplique $\frac{1}{3.5}$ por $1$ .

$2 (\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} + \frac{d}{d x} [\frac{3.5}{x}])$

Etapa 3.2.9

Como $3.5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3.5}{x}$ em relação a $x$ é $3.5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 (\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} + 3.5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Etapa 3.2.10

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$2 (\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} + 3.5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Etapa 3.2.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$2 (\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} + 3.5 (- x^{- 2}))$

Etapa 3.2.12

Multiplique $- 1$ por $3.5$ .

$2 (\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 x^{- 2})$

Etapa 3.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 \frac{x}{3.5} + 2 \frac{3.5}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \frac{x}{3.5} x + 2 \frac{3.5}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.4.3

Combine os termos.

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Etapa 3.4.3.1

Combine $2$ e $\frac{x}{3.5}$ .

$\frac{2 x}{3.5} x + 2 \frac{3.5}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.4.3.2

Combine $\frac{2 x}{3.5}$ e $x$ .

$\frac{2 x \cdot x}{3.5} + 2 \frac{3.5}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.4.3.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x)}{3.5} + 2 \frac{3.5}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.4.3.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1})}{3.5} + 2 \frac{3.5}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.4.3.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x^{1 + 1}}{3.5} + 2 \frac{3.5}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.4.3.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{3.5} + 2 \frac{3.5}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.4.3.7

Combine $2$ e $\frac{3.5}{x}$ .

$\frac{2 x^{2}}{3.5} + \frac{2 \cdot 3.5}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.4.3.8

Multiplique $2$ por $3.5$ .

$\frac{2 x^{2}}{3.5} + \frac{7}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.4.3.9

Combine $\frac{7}{x}$ e $x$ .

$\frac{2 x^{2}}{3.5} + \frac{7 x}{x} + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.4.3.10

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.4.3.10.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x^{2}}{3.5} + \frac{7 x}{x} + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.4.3.10.2

Divida $7$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{3.5} + 7 + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.4.3.11

Combine $- 3.5$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{3.5} + 7 + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} + \frac{- 3.5}{x^{2}})$

Etapa 3.4.3.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2 x^{2}}{3.5} + 7 + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - \frac{3.5}{x^{2}})$

Etapa 3.4.4

Reordene os termos.

$\frac{2 x^{2}}{3.5} + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - \frac{3.5}{x^{2}}) + 7$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{2 x^{2}}{3.5} + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - \frac{3.5}{x^{2}}) + 7$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2}}{3.5} + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - \frac{3.5}{x^{2}}) + 7$