Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} + 4$ , $[1, 2]$

Etapa 1

Se $f$ for contínua no intervalo $[a, b]$ e diferenciável em $(a, b)$ , então pelo menos um número real $c$ existirá no intervalo $(a, b)$ , de modo que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . O teorema do valor médio expressa a relação entre a inclinação da tangente à curva em $x = c$ e a inclinação da reta através dos pontos $(a, f (a))$ e $(b, f (b))$ .

Se $f (x)$ for contínuo em $[a, b]$

e se $f (x)$ for diferenciável em $(a, b)$ ,

então, existe ao menos um ponto, $c$ em $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Etapa 2

Verifique se $f (x) = x^{4} - 3 x^{3} + 4$ é contínua.

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Etapa 2.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 2.2

$f (x)$ é contínuo em $[1, 2]$ .

A função é contínua.

Etapa 3

Encontre a derivada.

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Etapa 3.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 3.1.1

Diferencie.

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Etapa 3.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 3 x^{3} + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 3.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 3.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

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Etapa 3.1.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 3.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 x^{3} - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 3.1.2.3

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 3.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 0$

Etapa 3.1.3.2

Some $4 x^{3} - 9 x^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 9 x^{2}$

Etapa 3.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{3} - 9 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2}$

Etapa 4

Determine se a derivada é contínua em $(1, 2)$ .

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Etapa 4.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4.2

$f' (x)$ é contínuo em $(1, 2)$ .

A função é contínua.

Etapa 5

A função é diferenciável em $(1, 2)$ , porque a derivada é contínua em $(1, 2)$ .

A função é diferenciável.

Etapa 6

$f (x)$ satisfaz as duas condições do teorema do valor médio. É contínuo em $[1, 2]$ e diferenciável em $(1, 2)$ .

$f (x)$ é contínuo em $[1, 2]$ e diferenciável em $(1, 2)$ .

Etapa 7

Avalie $f (a)$ a partir do intervalo $[1, 2]$ .

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = {(1)}^{4} - 3 {(1)}^{3} + 4$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = 1 - 3 {(1)}^{3} + 4$

Etapa 7.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = 1 - 3 \cdot 1 + 4$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$f (1) = 1 - 3 + 4$

Etapa 7.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 7.2.2.1

Subtraia $3$ de $1$ .

$f (1) = - 2 + 4$

Etapa 7.2.2.2

Some $- 2$ e $4$ .

$f (1) = 2$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $2$ .

$2$

Etapa 8

Avalie $f (b)$ a partir do intervalo $[1, 2]$ .

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = {(2)}^{4} - 3 {(2)}^{3} + 4$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f (2) = 16 - 3 {(2)}^{3} + 4$

Etapa 8.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (2) = 16 - 3 \cdot 8 + 4$

Etapa 8.2.1.3

Multiplique $- 3$ por $8$ .

$f (2) = 16 - 24 + 4$

Etapa 8.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 8.2.2.1

Subtraia $24$ de $16$ .

$f (2) = - 8 + 4$

Etapa 8.2.2.2

Some $- 8$ e $4$ .

$f (2) = - 4$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $- 4$ .

$- 4$

Etapa 9

Resolva $4 x^{3} - 9 x^{2} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ para $x$ . $4 x^{3} - 9 x^{2} = \frac{- (f (2) + f (1))}{- (2 + 1)}$ .

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Etapa 9.1

Simplifique $\frac{(- 4) - (2)}{(2) - (1)}$ .

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Etapa 9.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.1.1.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} = \frac{- 4 - 2}{2 - (1)}$

Etapa 9.1.1.2

Subtraia $2$ de $- 4$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} = \frac{- 6}{2 - (1)}$

Etapa 9.1.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 9.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} = \frac{- 6}{2 - 1}$

Etapa 9.1.2.2

Subtraia $1$ de $2$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} = \frac{- 6}{1}$

Etapa 9.1.3

Divida $- 6$ por $1$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} = - 6$

Etapa 9.2

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x \approx - 0.711668, 1.18903787, 1.77263012$

Etapa 10

Existe uma reta tangente em $x = - 0.711668$ paralela à reta que atravessa os pontos finais $a = 1$ e $b = 2$

Etapa 11

Existe uma reta tangente em $x = 1.18903787$ paralela à reta que atravessa os pontos finais $a = 1$ e $b = 2$

Etapa 12

Existe uma reta tangente em $x = 1.77263012$ paralela à reta que atravessa os pontos finais $a = 1$ e $b = 2$

Etapa 13