Cálculo Exemplos

$y = 9 - x^{2}$ , $[- 3, 3]$

Etapa 1

Reordene $9$ e $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 9$

Etapa 2

Se $f$ for contínua no intervalo $[a, b]$ e diferenciável em $(a, b)$ , então pelo menos um número real $c$ existirá no intervalo $(a, b)$ , de modo que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . O teorema do valor médio expressa a relação entre a inclinação da tangente à curva em $x = c$ e a inclinação da reta através dos pontos $(a, f (a))$ e $(b, f (b))$ .

Se $f (x)$ for contínuo em $[a, b]$

e se $f (x)$ for diferenciável em $(a, b)$ ,

então, existe ao menos um ponto, $c$ em $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Etapa 3

Verifique se $f (x) = - x^{2} + 9$ é contínua.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3.2

$f (x)$ é contínuo em $[- 3, 3]$ .

A função é contínua.

Etapa 4

Encontre a derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{2} + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1.3.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 2 x + 0$

Etapa 4.1.3.2

Some $- 2 x$ e $0$ .

$f' (x) = - 2 x$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 2 x$ .

$- 2 x$

Etapa 5

Determine se a derivada é contínua em $(- 3, 3)$ .

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Etapa 5.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 5.2

$f' (x)$ é contínuo em $(- 3, 3)$ .

A função é contínua.

Etapa 6

A função é diferenciável em $(- 3, 3)$ , porque a derivada é contínua em $(- 3, 3)$ .

A função é diferenciável.

Etapa 7

$f (x)$ satisfaz as duas condições do teorema do valor médio. É contínuo em $[- 3, 3]$ e diferenciável em $(- 3, 3)$ .

$f (x)$ é contínuo em $[- 3, 3]$ e diferenciável em $(- 3, 3)$ .

Etapa 8

Avalie $f (a)$ a partir do intervalo $[- 3, 3]$ .

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f (- 3) = - {(- 3)}^{2} + 9$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$f (- 3) = - 1 \cdot 9 + 9$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$f (- 3) = - 9 + 9$

Etapa 8.2.2

Some $- 9$ e $9$ .

$f (- 3) = 0$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 9

Resolva $- 2 x = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ para $x$ . $- 2 x = \frac{- (f (3) + f (- 3))}{- (3 - 3)}$ .

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Etapa 9.1

Simplifique.

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Etapa 9.1.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$- 2 x = \frac{0 + 0}{(3) - (- 3)}$

Etapa 9.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$- 2 x = \frac{0 + 0}{3 + 3}$

Etapa 9.1.3

Reduza a expressão $\frac{0 + 0}{3 + 3}$ cancelando os fatores comuns.

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Etapa 9.1.3.1

Fatore $3$ de $0$ .

$- 2 x = \frac{3 (0) + 0}{3 + 3}$

Etapa 9.1.3.2

Fatore $3$ de $0$ .

$- 2 x = \frac{3 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{3 + 3}$

Etapa 9.1.3.3

Fatore $3$ de $3 \cdot 0 + 3 \cdot 0$ .

$- 2 x = \frac{3 \cdot (0 + 0)}{3 + 3}$

Etapa 9.1.3.4

Fatore $3$ de $3$ .

$- 2 x = \frac{3 \cdot (0 + 0)}{3 (1) + 3}$

Etapa 9.1.3.5

Fatore $3$ de $3$ .

$- 2 x = \frac{3 \cdot (0 + 0)}{3 \cdot 1 + 3 \cdot 1}$

Etapa 9.1.3.6

Fatore $3$ de $3 \cdot 1 + 3 \cdot 1$ .

$- 2 x = \frac{3 \cdot (0 + 0)}{3 \cdot (1 + 1)}$

Etapa 9.1.3.7

Cancele o fator comum.

$- 2 x = \frac{3 \cdot (0 + 0)}{3 \cdot (1 + 1)}$

Etapa 9.1.3.8

Reescreva a expressão.

$- 2 x = \frac{0 + 0}{1 + 1}$

Etapa 9.1.4

Some $0$ e $0$ .

$- 2 x = \frac{0}{1 + 1}$

Etapa 9.1.5

Some $1$ e $1$ .

$- 2 x = \frac{0}{2}$

Etapa 9.1.6

Divida $0$ por $2$ .

$- 2 x = 0$

Etapa 9.2

Divida cada termo em $- 2 x = 0$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 9.2.1

Divida cada termo em $- 2 x = 0$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Etapa 9.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 9.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Etapa 9.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{- 2}$

Etapa 9.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.2.3.1

Divida $0$ por $- 2$ .

$x = 0$

Etapa 10

Existe uma reta tangente em $x = 0$ paralela à reta que atravessa os pontos finais $a = - 3$ e $b = 3$

Etapa 11