Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 5}$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x^{2} + 5$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 5) \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Mova $3$ para a esquerda de $x^{2} + 5$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot ((x^{2} + 5) x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 5) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (5))}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 5) x^{2} - x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} (5))}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.5

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 5) x^{2} - x^{3} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 5) x^{2} - x^{3} (2 x)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 5) x^{2} - 2 x^{3} x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 1.1.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 5) x^{2} - 2 (x \cdot x^{3})}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 1.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 5) x^{2} - 2 x^{1 + 3}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 1.1.5

Some $1$ e $3$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 5) x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 1.1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{(3 x^{2} + 3 \cdot 5) x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot (5 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.3.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.3.1.1.1

Mova $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} x^{2}) + 3 \cdot (5 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.3.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{3 x^{2 + 2} + 3 \cdot (5 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.3.1.1.3

Some $2$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{4} + 3 \cdot (5 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.3.1.2

Multiplique $3$ por $5$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{4} + 15 x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.3.2

Subtraia $2 x^{4}$ de $3 x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{x^{4} + 15 x^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.4

Fatore $x^{2}$ de $x^{4} + 15 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.4.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} x^{2} + 15 x^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.4.2

Fatore $x^{2}$ de $15 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.4.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 15$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} + 15)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} (x^{2} + 15)) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{({(x^{2} + 5)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 5)}^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} (x^{2} + 15)) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 1.2.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} (x^{2} + 15)) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 15$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 15) + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Etapa 1.2.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 15$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)) + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Etapa 1.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (15)) + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Etapa 1.2.4.3

Como $15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $15$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (x^{2} (2 x + 0) + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Etapa 1.2.4.4

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (x^{2} (2 x) + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Etapa 1.2.5

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (x \cdot x^{2} \cdot 2 + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (x \cdot x^{2} \cdot 2 + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (x^{1 + 2} \cdot 2 + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (x^{3} \cdot 2 + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Etapa 1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Mova $2$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (2 \cdot x^{3} + (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Etapa 1.2.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (2 x^{3} + (x^{2} + 15) (2 x)) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Etapa 1.2.6.3

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} + 15$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (2 x^{3} + 2 \cdot ((x^{2} + 15) x)) - x^{2} (x^{2} + 15) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5)}^{2}}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Etapa 1.2.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - x^{2} (x^{2} + 15) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5))}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Etapa 1.2.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - x^{2} (x^{2} + 15) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 5))}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Etapa 1.2.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - x^{2} (x^{2} + 15) (2 (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5))}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Etapa 1.2.8

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) ((x^{2} + 5) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5))}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Etapa 1.2.8.2

Fatore $x^{2} + 5$ de ${(x^{2} + 5)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) ((x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.2.1

Fatore $x^{2} + 5$ de ${(x^{2} + 5)}^{2} (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) ((x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x)) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) ((x^{2} + 5) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5))}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Etapa 1.2.8.2.2

Fatore $x^{2} + 5$ de $- 2 x^{2} (x^{2} + 15) ((x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) ((x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x)) + (x^{2} + 5) (- 2 x^{2} (x^{2} + 15) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 5)))}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Etapa 1.2.8.2.3

Fatore $x^{2} + 5$ de $(x^{2} + 5) ((x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x)) + (x^{2} + 5) (- 2 x^{2} (x^{2} + 15) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5]))$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) ((x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 5)))}{{(x^{2} + 5)}^{4}}$

Etapa 1.2.9

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.1

Fatore $x^{2} + 5$ de ${(x^{2} + 5)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) ((x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 5)))}{(x^{2} + 5) {(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 1.2.9.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) ((x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 5)))}{(x^{2} + 5) {(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 1.2.9.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 5))}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 1.2.10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (5))}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 1.2.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) (2 x + \frac{d}{d x} (5))}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 1.2.12

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 1.2.13

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.13.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 2 x^{2} (x^{2} + 15) (2 x)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 1.2.13.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 4 x^{2} (x^{2} + 15) x}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 1.2.14

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 4 (x \cdot x^{2}) (x^{2} + 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 1.2.15

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 4 x^{1 + 2} (x^{2} + 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 1.2.16

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x^{2} + 15) x) - 4 x^{3} (x^{2} + 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 1.2.17

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.17.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + (2 x^{2} + 2 \cdot 15) x) - 4 x^{3} (x^{2} + 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (15 x)) - 4 x^{3} (x^{2} + 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (15 x)) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.17.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.17.4.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.17.4.1.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.17.4.1.1.1.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (15 x)) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.4.1.1.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.17.4.1.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (15 x)) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.4.1.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (15 x)) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.4.1.1.1.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot (15 x)) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.4.1.1.2

Multiplique $2$ por $15$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (2 x^{3} + 2 x^{3} + 30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.4.1.2

Some $2 x^{3}$ e $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 5) (4 x^{3} + 30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.4.1.3

Expanda $(x^{2} + 5) (4 x^{3} + 30 x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.17.4.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 x^{3} + 30 x) + 5 (4 x^{3} + 30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.4.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 x^{3}) + x^{2} (30 x) + 5 (4 x^{3} + 30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.4.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 x^{3}) + x^{2} (30 x) + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.4.1.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.17.4.1.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.17.4.1.4.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} x^{3} + x^{2} (30 x) + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.4.1.4.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.17.4.1.4.1.2.1

Mova $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{3} x^{2}) + x^{2} (30 x) + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.4.1.4.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{4 x^{3 + 2} + x^{2} (30 x) + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.4.1.4.1.2.3

Some $3$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + x^{2} (30 x) + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.4.1.4.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 30 x^{2} x + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.4.1.4.1.4

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.17.4.1.4.1.4.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 30 (x \cdot x^{2}) + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.4.1.4.1.4.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.17.4.1.4.1.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 30 (x \cdot x^{2}) + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.4.1.4.1.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 30 x^{1 + 2} + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.4.1.4.1.4.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 30 x^{3} + 5 (4 x^{3}) + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.4.1.4.1.5

Multiplique $4$ por $5$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 30 x^{3} + 20 x^{3} + 5 (30 x) - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.4.1.4.1.6

Multiplique $30$ por $5$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 30 x^{3} + 20 x^{3} + 150 x - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.4.1.4.2

Some $30 x^{3}$ e $20 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 50 x^{3} + 150 x - 4 x^{3} x^{2} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.4.1.5

Multiplique $x^{3}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.17.4.1.5.1

Mova $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 50 x^{3} + 150 x - 4 (x^{2} x^{3}) - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.4.1.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 50 x^{3} + 150 x - 4 x^{2 + 3} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.4.1.5.3

Some $2$ e $3$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 50 x^{3} + 150 x - 4 x^{5} - 4 x^{3} \cdot 15}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.4.1.6

Multiplique $15$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 50 x^{3} + 150 x - 4 x^{5} - 60 x^{3}}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.4.2

Combine os termos opostos em $4 x^{5} + 50 x^{3} + 150 x - 4 x^{5} - 60 x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.17.4.2.1

Subtraia $4 x^{5}$ de $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{50 x^{3} + 150 x + 0 - 60 x^{3}}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.4.2.2

Some $50 x^{3} + 150 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{50 x^{3} + 150 x - 60 x^{3}}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.4.3

Subtraia $60 x^{3}$ de $50 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 10 x^{3} + 150 x}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.5

Fatore $10 x$ de $- 10 x^{3} + 150 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.17.5.1

Fatore $10 x$ de $- 10 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x (- x^{2}) + 150 x}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.5.2

Fatore $10 x$ de $150 x$ .

$f'' (x) = \frac{10 x (- x^{2}) + 10 x (15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.5.3

Fatore $10 x$ de $10 x (- x^{2}) + 10 x (15)$ .

$f'' (x) = \frac{10 x (- x^{2} + 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.6

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x (- (x^{2}) + 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.7

Reescreva $15$ como $- 1 (- 15)$ .

$f'' (x) = \frac{10 x (- (x^{2}) - 1 \cdot - 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.8

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (- 15)$ .

$f'' (x) = \frac{10 x (- (x^{2} - 15))}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.9

Reescreva $- (x^{2} - 15)$ como $- 1 (x^{2} - 15)$ .

$f'' (x) = \frac{10 x (- 1 (x^{2} - 15))}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 1.2.17.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{(10 x) (x^{2} - 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{(10 x) (x^{2} - 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$ .

$- \frac{(10 x) (x^{2} - 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{(10 x) (x^{2} - 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- \frac{(10 x) (x^{2} - 15)}{{(x^{2} + 5)}^{3}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$10 x (x^{2} - 15) = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 15 = 0$

Etapa 2.3.2

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.3.3

Defina $x^{2} - 15$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Defina $x^{2} - 15$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 15 = 0$

Etapa 2.3.3.2

Resolva $x^{2} - 15 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1

Some $15$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 15$

Etapa 2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{15}$

Etapa 2.3.3.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{15}$

Etapa 2.3.3.2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{15}$

Etapa 2.3.3.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{15}, - \sqrt{15}$

Etapa 2.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $10 x (x^{2} - 15) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \sqrt{15}, - \sqrt{15}$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $0$ em $f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 5}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = \frac{{(0)}^{3}}{{(0)}^{2} + 5}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0^{2} + 5}$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 + 5}$

Etapa 3.1.2.2.2

Some $0$ e $5$ .

$f (0) = \frac{0}{5}$

Etapa 3.1.2.3

Divida $0$ por $5$ .

$f (0) = 0$

Etapa 3.1.2.4

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $0$ em $f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 5}$ é $(0, 0)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(0, 0)$

Etapa 3.3

Substitua $\sqrt{15}$ em $f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 5}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Substitua a variável $x$ por $\sqrt{15}$ na expressão.

$f (\sqrt{15}) = \frac{{(\sqrt{15})}^{3}}{{(\sqrt{15})}^{2} + 5}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Reescreva ${\sqrt{15}}^{3}$ como $\sqrt{15^{3}}$ .

$f (\sqrt{15}) = \frac{\sqrt{15^{3}}}{{\sqrt{15}}^{2} + 5}$

Etapa 3.3.2.1.2

Eleve $15$ à potência de $3$ .

$f (\sqrt{15}) = \frac{\sqrt{3375}}{{\sqrt{15}}^{2} + 5}$

Etapa 3.3.2.1.3

Reescreva $3375$ como $15^{2} \cdot 15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.3.1

Fatore $225$ de $3375$ .

$f (\sqrt{15}) = \frac{\sqrt{225 (15)}}{{\sqrt{15}}^{2} + 5}$

Etapa 3.3.2.1.3.2

Reescreva $225$ como $15^{2}$ .

$f (\sqrt{15}) = \frac{\sqrt{15^{2} \cdot 15}}{{\sqrt{15}}^{2} + 5}$

Etapa 3.3.2.1.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (\sqrt{15}) = \frac{15 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2} + 5}$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Reescreva ${\sqrt{15}}^{2}$ como $15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{15}$ como $15^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{15}) = \frac{15 \sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2} + 5}$

Etapa 3.3.2.2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{15}) = \frac{15 \sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 5}$

Etapa 3.3.2.2.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\sqrt{15}) = \frac{15 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}} + 5}$

Etapa 3.3.2.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\sqrt{15}) = \frac{15 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}} + 5}$

Etapa 3.3.2.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\sqrt{15}) = \frac{15 \sqrt{15}}{15 + 5}$

Etapa 3.3.2.2.1.5

Avalie o expoente.

$f (\sqrt{15}) = \frac{15 \sqrt{15}}{15 + 5}$

Etapa 3.3.2.2.2

Some $15$ e $5$ .

$f (\sqrt{15}) = \frac{15 \sqrt{15}}{20}$

Etapa 3.3.2.3

Cancele o fator comum de $15$ e $20$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.3.1

Fatore $5$ de $15 \sqrt{15}$ .

$f (\sqrt{15}) = \frac{5 (3 \sqrt{15})}{20}$

Etapa 3.3.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.3.2.1

Fatore $5$ de $20$ .

$f (\sqrt{15}) = \frac{5 (3 \sqrt{15})}{5 (4)}$

Etapa 3.3.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\sqrt{15}) = \frac{5 (3 \sqrt{15})}{5 \cdot 4}$

Etapa 3.3.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\sqrt{15}) = \frac{3 \sqrt{15}}{4}$

Etapa 3.3.2.4

A resposta final é $\frac{3 \sqrt{15}}{4}$ .

$\frac{3 \sqrt{15}}{4}$

Etapa 3.4

O ponto encontrado ao substituir $\sqrt{15}$ em $f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 5}$ é $(\sqrt{15}, \frac{3 \sqrt{15}}{4})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(\sqrt{15}, \frac{3 \sqrt{15}}{4})$

Etapa 3.5

Substitua $- \sqrt{15}$ em $f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 5}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Substitua a variável $x$ por $- \sqrt{15}$ na expressão.

$f (- \sqrt{15}) = \frac{{(- \sqrt{15})}^{3}}{{(- \sqrt{15})}^{2} + 5}$

Etapa 3.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{15}$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{{(- 1)}^{3} {\sqrt{15}}^{3}}{{(- \sqrt{15})}^{2} + 5}$

Etapa 3.5.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- {\sqrt{15}}^{3}}{{(- \sqrt{15})}^{2} + 5}$

Etapa 3.5.2.1.3

Reescreva ${\sqrt{15}}^{3}$ como $\sqrt{15^{3}}$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- \sqrt{15^{3}}}{{(- \sqrt{15})}^{2} + 5}$

Etapa 3.5.2.1.4

Eleve $15$ à potência de $3$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- \sqrt{3375}}{{(- \sqrt{15})}^{2} + 5}$

Etapa 3.5.2.1.5

Reescreva $3375$ como $15^{2} \cdot 15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1.5.1

Fatore $225$ de $3375$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- \sqrt{225 (15)}}{{(- \sqrt{15})}^{2} + 5}$

Etapa 3.5.2.1.5.2

Reescreva $225$ como $15^{2}$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- \sqrt{15^{2} \cdot 15}}{{(- \sqrt{15})}^{2} + 5}$

Etapa 3.5.2.1.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 1 \cdot (15 \sqrt{15})}{{(- \sqrt{15})}^{2} + 5}$

Etapa 3.5.2.1.7

Multiplique $- 1$ por $15$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{{(- \sqrt{15})}^{2} + 5}$

Etapa 3.5.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.1

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{15}$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{{(- 1)}^{2} {\sqrt{15}}^{2} + 5}$

Etapa 3.5.2.2.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{1 {\sqrt{15}}^{2} + 5}$

Etapa 3.5.2.2.3

Multiplique ${\sqrt{15}}^{2}$ por $1$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2} + 5}$

Etapa 3.5.2.2.4

Reescreva ${\sqrt{15}}^{2}$ como $15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{15}$ como $15^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2} + 5}$

Etapa 3.5.2.2.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 5}$

Etapa 3.5.2.2.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}} + 5}$

Etapa 3.5.2.2.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.4.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}} + 5}$

Etapa 3.5.2.2.4.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{15 + 5}$

Etapa 3.5.2.2.4.5

Avalie o expoente.

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{15 + 5}$

Etapa 3.5.2.2.5

Some $15$ e $5$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 15 \sqrt{15}}{20}$

Etapa 3.5.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.3.1

Cancele o fator comum de $- 15$ e $20$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.3.1.1

Fatore $5$ de $- 15 \sqrt{15}$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{5 (- 3 \sqrt{15})}{20}$

Etapa 3.5.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.3.1.2.1

Fatore $5$ de $20$ .

$f (- \sqrt{15}) = \frac{5 (- 3 \sqrt{15})}{5 (4)}$

Etapa 3.5.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \sqrt{15}) = \frac{5 (- 3 \sqrt{15})}{5 \cdot 4}$

Etapa 3.5.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \sqrt{15}) = \frac{- 3 \sqrt{15}}{4}$

Etapa 3.5.2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \sqrt{15}) = - \frac{3 \sqrt{15}}{4}$

Etapa 3.5.2.4

A resposta final é $- \frac{3 \sqrt{15}}{4}$ .

$- \frac{3 \sqrt{15}}{4}$

Etapa 3.6

O ponto encontrado ao substituir $- \sqrt{15}$ em $f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 5}$ é $(- \sqrt{15}, - \frac{3 \sqrt{15}}{4})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- \sqrt{15}, - \frac{3 \sqrt{15}}{4})$

Etapa 3.7

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(0, 0), (\sqrt{15}, \frac{3 \sqrt{15}}{4}), (- \sqrt{15}, - \frac{3 \sqrt{15}}{4})$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - \sqrt{15}) \cup (- \sqrt{15}, 0) \cup (0, \sqrt{15}) \cup (\sqrt{15}, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - \sqrt{15})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 3.97298334$ na expressão.

$f'' (- 3.97298334) = - \frac{(10 (- 3.97298334)) ({(- 3.97298334)}^{2} - 15)}{{({(- 3.97298334)}^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Multiplique $10$ por $- 3.97298334$ .

$f'' (- 3.97298334) = - \frac{- 39.72983346 ({(- 3.97298334)}^{2} - 15)}{{({(- 3.97298334)}^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $- 39.72983346$ por ${(- 3.97298334)}^{2} - 15$ .

$f'' (- 3.97298334) = - \frac{- 31.171895}{{({(- 3.97298334)}^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Eleve $- 3.97298334$ à potência de $2$ .

$f'' (- 3.97298334) = - \frac{- 31.171895}{{(15.78459666 + 5)}^{3}}$

Etapa 5.2.2.2

Some $15.78459666$ e $5$ .

$f'' (- 3.97298334) = - \frac{- 31.171895}{{20.78459666}^{3}}$

Etapa 5.2.2.3

Eleve $20.78459666$ à potência de $3$ .

$f'' (- 3.97298334) = - \frac{- 31.171895}{8978.93451047}$

Etapa 5.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Divida $- 31.171895$ por $8978.93451047$ .

$f'' (- 3.97298334) = 0.00347166$

Etapa 5.2.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 0.00347166$ .

$f'' (- 3.97298334) = 0.00347166$

Etapa 5.2.4

A resposta final é $0.00347166$ .

$0.00347166$

Etapa 5.3

Em $- 3.97298334$ , a segunda derivada é $0.00347166$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, - \sqrt{15})$ .

Acréscimo em $(- \infty, - \sqrt{15})$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \sqrt{15}, 0)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.93649167$ na expressão.

$f'' (- 1.93649167) = - \frac{(10 (- 1.93649167)) ({(- 1.93649167)}^{2} - 15)}{{({(- 1.93649167)}^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Multiplique $10$ por $- 1.93649167$ .

$f'' (- 1.93649167) = - \frac{- 19.36491673 ({(- 1.93649167)}^{2} - 15)}{{({(- 1.93649167)}^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 19.36491673$ por ${(- 1.93649167)}^{2} - 15$ .

$f'' (- 1.93649167) = - \frac{217.85531322}{{({(- 1.93649167)}^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Eleve $- 1.93649167$ à potência de $2$ .

$f'' (- 1.93649167) = - \frac{217.85531322}{{(3.75 + 5)}^{3}}$

Etapa 6.2.2.2

Some $3.75$ e $5$ .

$f'' (- 1.93649167) = - \frac{217.85531322}{{8.75}^{3}}$

Etapa 6.2.2.3

Eleve $8.75$ à potência de $3$ .

$f'' (- 1.93649167) = - \frac{217.85531322}{669.921875}$

Etapa 6.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Divida $217.85531322$ por $669.921875$ .

$f'' (- 1.93649167) = - 1 \cdot 0.3251951$

Etapa 6.2.3.2

Multiplique $- 1$ por $0.3251951$ .

$f'' (- 1.93649167) = - 0.3251951$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $- 0.3251951$ .

$- 0.3251951$

Etapa 6.3

Em $- 1.93649167$ , a segunda derivada é $- 0.3251951$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \sqrt{15}, 0)$ .

Decréscimo em $(- \sqrt{15}, 0)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(0, \sqrt{15})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $1.93649167$ na expressão.

$f'' (1.93649167) = - \frac{(10 (1.93649167)) ({(1.93649167)}^{2} - 15)}{{({(1.93649167)}^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Multiplique $10$ por $1.93649167$ .

$f'' (1.93649167) = - \frac{19.36491673 ({1.93649167}^{2} - 15)}{{({1.93649167}^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $19.36491673$ por ${1.93649167}^{2} - 15$ .

$f'' (1.93649167) = - \frac{- 217.85531322}{{({1.93649167}^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Eleve $1.93649167$ à potência de $2$ .

$f'' (1.93649167) = - \frac{- 217.85531322}{{(3.75 + 5)}^{3}}$

Etapa 7.2.2.2

Some $3.75$ e $5$ .

$f'' (1.93649167) = - \frac{- 217.85531322}{{8.75}^{3}}$

Etapa 7.2.2.3

Eleve $8.75$ à potência de $3$ .

$f'' (1.93649167) = - \frac{- 217.85531322}{669.921875}$

Etapa 7.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

Divida $- 217.85531322$ por $669.921875$ .

$f'' (1.93649167) = 0.3251951$

Etapa 7.2.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 0.3251951$ .

$f'' (1.93649167) = 0.3251951$

Etapa 7.2.4

A resposta final é $0.3251951$ .

$0.3251951$

Etapa 7.3

Em $1.93649167$ , a segunda derivada é $0.3251951$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(0, \sqrt{15})$ .

Acréscimo em $(0, \sqrt{15})$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(\sqrt{15}, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $3.97298334$ na expressão.

$f'' (3.97298334) = - \frac{(10 (3.97298334)) ({(3.97298334)}^{2} - 15)}{{({(3.97298334)}^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Multiplique $10$ por $3.97298334$ .

$f'' (3.97298334) = - \frac{39.72983346 ({3.97298334}^{2} - 15)}{{({3.97298334}^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $39.72983346$ por ${3.97298334}^{2} - 15$ .

$f'' (3.97298334) = - \frac{31.171895}{{({3.97298334}^{2} + 5)}^{3}}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Eleve $3.97298334$ à potência de $2$ .

$f'' (3.97298334) = - \frac{31.171895}{{(15.78459666 + 5)}^{3}}$

Etapa 8.2.2.2

Some $15.78459666$ e $5$ .

$f'' (3.97298334) = - \frac{31.171895}{{20.78459666}^{3}}$

Etapa 8.2.2.3

Eleve $20.78459666$ à potência de $3$ .

$f'' (3.97298334) = - \frac{31.171895}{8978.93451047}$

Etapa 8.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.1

Divida $31.171895$ por $8978.93451047$ .

$f'' (3.97298334) = - 1 \cdot 0.00347166$

Etapa 8.2.3.2

Multiplique $- 1$ por $0.00347166$ .

$f'' (3.97298334) = - 0.00347166$

Etapa 8.2.4

A resposta final é $- 0.00347166$ .

$- 0.00347166$

Etapa 8.3

Em $3.97298334$ , a segunda derivada é $- 0.00347166$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(\sqrt{15}, \infty)$ .

Decréscimo em $(\sqrt{15}, \infty)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \sqrt{15}, - \frac{3 \sqrt{15}}{4}), (0, 0), (\sqrt{15}, \frac{3 \sqrt{15}}{4})$ .

$(- \sqrt{15}, - \frac{3 \sqrt{15}}{4}), (0, 0), (\sqrt{15}, \frac{3 \sqrt{15}}{4})$

Etapa 10