Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x}$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} + 1$ e $g (x) = x$ .

$f' (x) = \frac{x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x (2 x + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2.4

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Etapa 1.1.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Etapa 1.1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Etapa 1.1.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Etapa 1.1.6

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Etapa 1.1.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 1) \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 1.1.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 1)}{x^{2}}$

Etapa 1.1.9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 1.1.9.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.9.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - x^{2} - 1}{x^{2}}$

Etapa 1.1.9.2.2

Subtraia $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}$

Etapa 1.1.9.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.9.3.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{2}}$

Etapa 1.1.9.3.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Etapa 1.2.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x + 1$ e $g (x) = x - 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 1) \frac{d}{d x} (x - 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 1.2.4

Diferencie.

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Etapa 1.2.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 1.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 1.2.4.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 1.2.4.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.4.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 1.2.4.4.2

Multiplique $x + 1$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 1.2.4.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 1.2.4.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (1))) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 1.2.4.7

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 1 + (x - 1) (1 + 0)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 1.2.4.8

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.8.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 1 + (x - 1) \cdot 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 1.2.4.8.2

Multiplique $x - 1$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 1 + x - 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 1.2.4.8.3

Some $x$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x + 1 - 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 1.2.4.8.4

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.8.4.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x + 0) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 1.2.4.8.4.2

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 1.2.5

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 1.2.5.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 1.2.5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 1.2.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 1.2.5.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} \cdot 2 - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 1.2.6

Mova $2$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot x^{3} - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 1.2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - (x + 1) (x - 1) (2 x)}{x^{4}}$

Etapa 1.2.8

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x + 1) (x - 1) x}{x^{4}}$

Etapa 1.2.9

Simplifique.

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Etapa 1.2.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x - 2 \cdot 1) (x - 1) x}{x^{4}}$

Etapa 1.2.9.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.9.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.9.2.1.1

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x - 2) (x - 1) x}{x^{4}}$

Etapa 1.2.9.2.1.2

Expanda $(- 2 x - 2) (x - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x (x - 1) - 2 (x - 1)) x}{x^{4}}$

Etapa 1.2.9.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 - 2 (x - 1)) x}{x^{4}}$

Etapa 1.2.9.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1) x}{x^{4}}$

Etapa 1.2.9.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.2.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.2.1.3.1.1.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1) x}{x^{4}}$

Etapa 1.2.9.2.1.3.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1) x}{x^{4}}$

Etapa 1.2.9.2.1.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 2 x - 2 x - 2 \cdot - 1) x}{x^{4}}$

Etapa 1.2.9.2.1.3.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 2 x - 2 x + 2) x}{x^{4}}$

Etapa 1.2.9.2.1.3.2

Subtraia $2 x$ de $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 0 + 2) x}{x^{4}}$

Etapa 1.2.9.2.1.3.3

Some $- 2 x^{2}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 2) x}{x^{4}}$

Etapa 1.2.9.2.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x + 2 x}{x^{4}}$

Etapa 1.2.9.2.1.5

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.2.1.5.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 2 x}{x^{4}}$

Etapa 1.2.9.2.1.5.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.2.1.5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 2 x}{x^{4}}$

Etapa 1.2.9.2.1.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} + 2 x}{x^{4}}$

Etapa 1.2.9.2.1.5.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{3} + 2 x}{x^{4}}$

Etapa 1.2.9.2.2

Subtraia $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 2 x}{x^{4}}$

Etapa 1.2.9.2.3

Some $0$ e $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x}{x^{4}}$

Etapa 1.2.9.3

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.3.1

Fatore $x$ de $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot 2}{x^{4}}$

Etapa 1.2.9.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.3.2.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot 2}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 1.2.9.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{x \cdot 2}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 1.2.9.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{2}{x^{3}}$ .

$\frac{2}{x^{3}}$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{2}{x^{3}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{2}{x^{3}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 = 0$

Etapa 2.3

Como $2 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 3

Nenhum valor encontrado que possa tornar a segunda derivada igual a $0$ .

Nenhum ponto de inflexão