Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = {(x - 1)}^{2}$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Multiplique os expoentes em ${({(x - 1)}^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 1.1.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.3

Mova $2$ para a esquerda de ${(x - 1)}^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ({(x - 1)}^{2} x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 u \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.4.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + 0))}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.4.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.5.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \cdot 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.4.5.2

Multiplique $x - 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} (x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.5.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.2.1.1

Reescreva ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$f' (x) = \frac{2 ((x - 1) (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.5.2.1.2

Expanda $(x - 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.5.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.5.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.5.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.2.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.5.2.1.3.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.5.2.1.3.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.5.2.1.3.1.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.5.2.1.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - x - x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.5.2.1.3.2

Subtraia $x$ de $- x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 2 x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.5.2.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.5.2.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.2.1.5.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.5.2.1.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} - 4 x + 2) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.5.2.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.5.2.1.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.2.1.7.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.2.1.7.1.1

Mova $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.5.2.1.7.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.2.1.7.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.5.2.1.7.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.5.2.1.7.1.3

Some $1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.5.2.1.7.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.2.1.7.2.1

Mova $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 (x \cdot x) + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.5.2.1.7.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.5.2.1.8

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.2.1.8.1

Mova $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.5.2.1.8.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.2.1.8.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.5.2.1.8.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.5.2.1.8.3

Some $1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.5.2.1.9

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.5.2.2

Combine os termos opostos em $2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.2.2.1

Subtraia $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 2 x + 0 + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.5.2.2.2

Some $- 4 x^{2} + 2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 2 x + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.5.2.3

Some $- 4 x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.5.3

Fatore $2 x$ de $- 2 x^{2} + 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.3.1

Fatore $2 x$ de $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 x (- x) + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.5.3.2

Fatore $2 x$ de $2 x$ .

$f' (x) = \frac{2 x (- x) + 2 x (1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.5.3.3

Fatore $2 x$ de $2 x (- x) + 2 x (1)$ .

$f' (x) = \frac{2 x (- x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.5.4

Cancele o fator comum de $- x + 1$ e ${(x - 1)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.4.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$f' (x) = \frac{2 x (- (x) + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.5.4.2

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$f' (x) = \frac{2 x (- (x) - 1 \cdot - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.5.4.3

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$f' (x) = \frac{2 x (- (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.5.4.4

Reescreva $- (x - 1)$ como $- 1 (x - 1)$ .

$f' (x) = \frac{2 x (- 1 (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.5.4.5

Fatore $x - 1$ de $2 x (- 1 (x - 1))$ .

$f' (x) = \frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.5.4.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.4.6.1

Fatore $x - 1$ de ${(x - 1)}^{4}$ .

$f' (x) = \frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.1.5.4.6.2

Cancele o fator comum.

$f' (x) = \frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.1.5.4.6.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot (- 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.1.5.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.1.5.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - 1)}^{3}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x - 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.2

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{({(x - 1)}^{3})}^{2}}$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(x - 1)}^{3})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{3 \cdot 2}}$

Etapa 1.2.3.1.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{6}}$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{6}}$

Etapa 1.2.3.3

Multiplique ${(x - 1)}^{3}$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{6}}$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

Etapa 1.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

Etapa 1.2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x (3 {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

Etapa 1.2.5

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

Etapa 1.2.5.2

Fatore ${(x - 1)}^{2}$ de ${(x - 1)}^{3} - 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1])$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1

Fatore ${(x - 1)}^{2}$ de ${(x - 1)}^{3}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1) - 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

Etapa 1.2.5.2.2

Fatore ${(x - 1)}^{2}$ de $- 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1])$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (- 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{6}}$

Etapa 1.2.5.2.3

Fatore ${(x - 1)}^{2}$ de ${(x - 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (- 3 x (\frac{d}{d x} [x - 1]))$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{6}}$

Etapa 1.2.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Fatore ${(x - 1)}^{2}$ de ${(x - 1)}^{6}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{2} {(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.6.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{2} {(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.6.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (1 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.9

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (1 + 0)}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.10

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.10.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x \cdot 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.10.2

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.10.3

Subtraia $3 x$ de $x$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{- 2 x - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.10.4

Combine $- 2$ e $\frac{- 2 x - 1}{{(x - 1)}^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (- 2 x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.10.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{(2) (- 2 x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x) + 2 \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.11.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.11.2.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 4 x + 2 \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.11.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 4 x - 2}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.11.3

Fatore $2$ de $- 4 x - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.11.3.1

Fatore $2$ de $- 4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x) - 2}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.11.3.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x) + 2 (- 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.11.3.3

Fatore $2$ de $2 (- 2 x) + 2 (- 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.11.4

Fatore $- 1$ de $- 2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (2 x) - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.11.5

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (2 x) - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.11.6

Fatore $- 1$ de $- (2 x) - 1 (1)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (2 x + 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.11.7

Reescreva $- (2 x + 1)$ como $- 1 (2 x + 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 1 (2 x + 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.11.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.11.9

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}})$

Etapa 1.2.11.10

Multiplique $\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$ .

$\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 (2 x + 1) = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $2 (2 x + 1) = 0$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Divida cada termo em $2 (2 x + 1) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (2 x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (2 x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 2.3.1.2.1.2

Divida $2 x + 1$ por $1$ .

$2 x + 1 = \frac{0}{2}$

Etapa 2.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$2 x + 1 = 0$

Etapa 2.3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 1$

Etapa 2.3.3

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 2.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 2.3.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Etapa 2.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1}{2}$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $- \frac{1}{2}$ em $f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{1}{2}$ na expressão.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{{((- \frac{1}{2}) - 1)}^{2}}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.1.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.1.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 {(\frac{1}{2})}^{2}}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.1.2.1.3

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.1.2.1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 (\frac{1}{2^{2}})}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.1.2.1.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 (\frac{1}{4})}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.1.2.1.6

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.1.2.2.1

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Etapa 3.1.2.2.2

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Etapa 3.1.2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Etapa 3.1.2.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.4.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(\frac{- 1 - 2}{2})}^{2}}$

Etapa 3.1.2.2.4.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(\frac{- 3}{2})}^{2}}$

Etapa 3.1.2.2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Etapa 3.1.2.2.6

Aplique a regra do produto a $- \frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Etapa 3.1.2.2.7

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{1 {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Etapa 3.1.2.2.8

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})}$

Etapa 3.1.2.2.9

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{1 (\frac{9}{2^{2}})}$

Etapa 3.1.2.2.10

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{1 (\frac{9}{4})}$

Etapa 3.1.2.2.11

Multiplique $\frac{9}{4}$ por $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{9}{4}}$

Etapa 3.1.2.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{9}$

Etapa 3.1.2.4

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{9}$

Etapa 3.1.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{9}$

Etapa 3.1.2.5

A resposta final é $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{9}$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $- \frac{1}{2}$ em $f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ é $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{9})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- \frac{1}{2}, \frac{1}{9})$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - \frac{1}{2})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.6$ na expressão.

$f'' (- 0.6) = \frac{2 (2 (- 0.6) + 1)}{{((- 0.6) - 1)}^{4}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Multiplique $2$ por $- 0.6$ .

$f'' (- 0.6) = \frac{2 (- 1.2 + 1)}{{(- 0.6 - 1)}^{4}}$

Etapa 5.2.1.2

Some $- 1.2$ e $1$ .

$f'' (- 0.6) = \frac{2 \cdot - 0.2}{{(- 0.6 - 1)}^{4}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Subtraia $1$ de $- 0.6$ .

$f'' (- 0.6) = \frac{2 \cdot - 0.2}{{(- 1.6)}^{4}}$

Etapa 5.2.2.2

Eleve $- 1.6$ à potência de $4$ .

$f'' (- 0.6) = \frac{2 \cdot - 0.2}{6.5536}$

Etapa 5.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Multiplique $2$ por $- 0.2$ .

$f'' (- 0.6) = \frac{- 0.4}{6.5536}$

Etapa 5.2.3.2

Divida $- 0.4$ por $6.5536$ .

$f'' (- 0.6) = - 0.06103515$

Etapa 5.2.4

A resposta final é $- 0.06103515$ .

$- 0.06103515$

Etapa 5.3

Em $- 0.6$ , a segunda derivada é $- 0.06103515$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, - \frac{1}{2})$ .

Decréscimo em $(- \infty, - \frac{1}{2})$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \frac{1}{2}, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.4$ na expressão.

$f'' (- 0.4) = \frac{2 (2 (- 0.4) + 1)}{{((- 0.4) - 1)}^{4}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Multiplique $2$ por $- 0.4$ .

$f'' (- 0.4) = \frac{2 (- 0.8 + 1)}{{(- 0.4 - 1)}^{4}}$

Etapa 6.2.1.2

Some $- 0.8$ e $1$ .

$f'' (- 0.4) = \frac{2 \cdot 0.2}{{(- 0.4 - 1)}^{4}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Subtraia $1$ de $- 0.4$ .

$f'' (- 0.4) = \frac{2 \cdot 0.2}{{(- 1.4)}^{4}}$

Etapa 6.2.2.2

Eleve $- 1.4$ à potência de $4$ .

$f'' (- 0.4) = \frac{2 \cdot 0.2}{3.8416}$

Etapa 6.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Multiplique $2$ por $0.2$ .

$f'' (- 0.4) = \frac{0.4}{3.8416}$

Etapa 6.2.3.2

Divida $0.4$ por $3.8416$ .

$f'' (- 0.4) = 0.10412328$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $0.10412328$ .

$0.10412328$

Etapa 6.3

Em $- 0.4$ , a segunda derivada é $0.10412328$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \frac{1}{2}, \infty)$ .

Acréscimo em $(- \frac{1}{2}, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 7

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, o ponto de inflexão é $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{9})$ .

$(- \frac{1}{2}, \frac{1}{9})$

Etapa 8