Cálculo Exemplos

$f (x) = {(x - 5)}^{2} (x - 2)$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Reescreva ${(x - 5)}^{2}$ como $(x - 5) (x - 5)$ .

$\frac{d}{d x} [(x - 5) (x - 5) (x - 2)]$

Etapa 1.1.2

Expanda $(x - 5) (x - 5)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [(x (x - 5) - 5 (x - 5)) (x - 2)]$

Etapa 1.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5)) (x - 2)]$

Etapa 1.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) (x - 2)]$

Etapa 1.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) (x - 2)]$

Etapa 1.1.3.1.2

Mova $- 5$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5) (x - 2)]$

Etapa 1.1.3.1.3

Multiplique $- 5$ por $- 5$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 5 x - 5 x + 25) (x - 2)]$

Etapa 1.1.3.2

Subtraia $5 x$ de $- 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 10 x + 25) (x - 2)]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2} - 10 x + 25$ e $g (x) = x - 2$ .

$(x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x - 2] + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]$

Etapa 1.1.5

Diferencie.

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Etapa 1.1.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$(x^{2} - 10 x + 25) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]$

Etapa 1.1.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x^{2} - 10 x + 25) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]$

Etapa 1.1.5.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x^{2} - 10 x + 25) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]$

Etapa 1.1.5.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.5.4.1

Some $1$ e $0$ .

$(x^{2} - 10 x + 25) \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]$

Etapa 1.1.5.4.2

Multiplique $x^{2} - 10 x + 25$ por $1$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]$

Etapa 1.1.5.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 10 x + 25$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25])$

Etapa 1.1.5.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25])$

Etapa 1.1.5.7

Como $- 10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 10 x$ em relação a $x$ é $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25])$

Etapa 1.1.5.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25])$

Etapa 1.1.5.9

Multiplique $- 10$ por $1$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x - 10 + \frac{d}{d x} [25])$

Etapa 1.1.5.10

Como $25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $25$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x - 10 + 0)$

Etapa 1.1.5.11

Some $2 x - 10$ e $0$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x - 10)$

Etapa 1.1.6

Simplifique.

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Etapa 1.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x) + (x - 2) \cdot - 10$

Etapa 1.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} - 10 x + 25 + x (2 x) - 2 (2 x) + (x - 2) \cdot - 10$

Etapa 1.1.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} - 10 x + 25 + x (2 x) - 2 (2 x) + x \cdot - 10 - 2 \cdot - 10$

Etapa 1.1.6.4

Combine os termos.

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Etapa 1.1.6.4.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 (x^{1} x) - 2 (2 x) + x \cdot - 10 - 2 \cdot - 10$

Etapa 1.1.6.4.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 (x^{1} x^{1}) - 2 (2 x) + x \cdot - 10 - 2 \cdot - 10$

Etapa 1.1.6.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 x^{1 + 1} - 2 (2 x) + x \cdot - 10 - 2 \cdot - 10$

Etapa 1.1.6.4.4

Some $1$ e $1$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 x^{2} - 2 (2 x) + x \cdot - 10 - 2 \cdot - 10$

Etapa 1.1.6.4.5

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 x^{2} - 4 x + x \cdot - 10 - 2 \cdot - 10$

Etapa 1.1.6.4.6

Mova $- 10$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 x^{2} - 4 x - 10 \cdot x - 2 \cdot - 10$

Etapa 1.1.6.4.7

Multiplique $- 2$ por $- 10$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 x^{2} - 4 x - 10 x + 20$

Etapa 1.1.6.4.8

Subtraia $10 x$ de $- 4 x$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 x^{2} - 14 x + 20$

Etapa 1.1.6.4.9

Some $x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$3 x^{2} - 10 x + 25 - 14 x + 20$

Etapa 1.1.6.4.10

Subtraia $14 x$ de $- 10 x$ .

$3 x^{2} - 24 x + 25 + 20$

Etapa 1.1.6.4.11

Some $25$ e $20$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 24 x + 45$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 24 x + 45$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [45]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [45]$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 1.2.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [45]$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [45]$

Etapa 1.2.2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [45]$

Etapa 1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

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Etapa 1.2.3.1

Como $- 24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 24 x$ em relação a $x$ é $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [45]$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [45]$

Etapa 1.2.3.3

Multiplique $- 24$ por $1$ .

$6 x - 24 + \frac{d}{d x} [45]$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.2.4.1

Como $45$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $45$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 x - 24 + 0$

Etapa 1.2.4.2

Some $6 x - 24$ e $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 24$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $6 x - 24$ .

$6 x - 24$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $6 x - 24 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$6 x - 24 = 0$

Etapa 2.2

Some $24$ aos dois lados da equação.

$6 x = 24$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $6 x = 24$ por $6$ e simplifique.

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Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $6 x = 24$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{24}{6}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 x}{6} = \frac{24}{6}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{24}{6}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.3.1

Divida $24$ por $6$ .

$x = 4$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

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Etapa 3.1

Substitua $4$ em $f (x) = {(x - 5)}^{2} (x - 2)$ para encontrar o valor de $y$ .

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Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f (4) = {((4) - 5)}^{2} ((4) - 2)$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.1.2.1

Subtraia $5$ de $4$ .

$f (4) = {(- 1)}^{2} ((4) - 2)$

Etapa 3.1.2.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (4) = 1 ((4) - 2)$

Etapa 3.1.2.3

Multiplique $(4) - 2$ por $1$ .

$f (4) = (4) - 2$

Etapa 3.1.2.4

Subtraia $2$ de $4$ .

$f (4) = 2$

Etapa 3.1.2.5

A resposta final é $2$ .

$2$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $4$ em $f (x) = {(x - 5)}^{2} (x - 2)$ é $(4, 2)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(4, 2)$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 4)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $3.9$ na expressão.

$f'' (3.9) = 6 (3.9) - 24$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $6$ por $3.9$ .

$f'' (3.9) = 23.4 - 24$

Etapa 5.2.2

Subtraia $24$ de $23.4$ .

$f'' (3.9) = - 0.6$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 0.6$ .

$- 0.6$

Etapa 5.3

Em $3.9$ , a segunda derivada é $- 0.6$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, 4)$ .

Decréscimo em $(- \infty, 4)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(4, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $4.1$ na expressão.

$f'' (4.1) = 6 (4.1) - 24$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $6$ por $4.1$ .

$f'' (4.1) = 24.6 - 24$

Etapa 6.2.2

Subtraia $24$ de $24.6$ .

$f'' (4.1) = 0.6$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $0.6$ .

$0.6$

Etapa 6.3

Em $4.1$ , a segunda derivada é $0.6$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(4, \infty)$ .

Acréscimo em $(4, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 7

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, o ponto de inflexão é $(4, 2)$ .

$(4, 2)$

Etapa 8