Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{x + 3}$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Reescreva $\frac{1}{x + 3}$ como ${(x + 3)}^{- 1}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{- 1})$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x + 3$ .

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Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 3$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x + 3)$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (x + 3)$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 3$ .

$f' (x) = - {(x + 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x + 3)$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = - {(x + 3)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = - {(x + 3)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} (3))$

Etapa 1.1.3.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = - {(x + 3)}^{- 2} (1 + 0)$

Etapa 1.1.3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = - {(x + 3)}^{- 2} \cdot 1$

Etapa 1.1.3.4.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = - {(x + 3)}^{- 2}$

Etapa 1.1.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.2.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 1.2.2.1

Reescreva $\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$ como ${({(x + 3)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {({(x + 3)}^{2})}^{- 1} + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.2.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(x + 3)}^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.2.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{2 \cdot - 1} + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.2.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{- 2} + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = x + 3$ .

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Etapa 1.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 3$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x + 3)) + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$f'' (x) = - (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 3)) + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 3$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x + 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 3)) + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.2.4

Diferencie.

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Etapa 1.2.4.1

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 2 ({(x + 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 3)) + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.2.4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = 2 {(x + 3)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3)) + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.2.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 {(x + 3)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (3)) + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.2.4.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x + 3)}^{- 3} (1 + 0) + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.2.4.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.4.5.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x + 3)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.2.4.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 {(x + 3)}^{- 3} + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.2.4.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x + 3)}^{- 3} + \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} \cdot 0$

Etapa 1.2.4.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.4.7.1

Multiplique $\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$ por $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x + 3)}^{- 3} + 0$

Etapa 1.2.4.7.2

Some $2 {(x + 3)}^{- 3}$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x + 3)}^{- 3}$

Etapa 1.2.5

Simplifique.

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Etapa 1.2.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{{(x + 3)}^{3}})$

Etapa 1.2.5.2

Combine $2$ e $\frac{1}{{(x + 3)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{{(x + 3)}^{3}}$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{2}{{(x + 3)}^{3}}$ .

$\frac{2}{{(x + 3)}^{3}}$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{2}{{(x + 3)}^{3}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{2}{{(x + 3)}^{3}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 = 0$

Etapa 2.3

Como $2 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 3

Nenhum valor encontrado que possa tornar a segunda derivada igual a $0$ .

Nenhum ponto de inflexão