Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} + 1})$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Etapa 1.1.3.2

Multiplique $x^{2} + 1$ por $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Etapa 1.1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Etapa 1.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Etapa 1.1.3.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Etapa 1.1.3.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Etapa 1.1.3.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Etapa 1.1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Etapa 1.1.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Etapa 1.1.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Etapa 1.1.7

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Etapa 1.1.8

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Etapa 1.1.9

Combine $2$ e $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.10

Simplifique.

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Etapa 1.1.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.10.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.10.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.10.2.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 2) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.2.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.2.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 2) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 1.2.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 2) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 x^{2} + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.2.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (2)) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (2)) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.2.5

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x + \frac{d}{d x} (2)) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.2.6

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x + 0) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.2.7

Some $- 4 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Etapa 1.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.4

Diferencie.

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Etapa 1.2.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} + 2) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} + 2) ((x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} + 2) ((x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.4.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} + 2) ((x^{2} + 1) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.4.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.4.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} + 2) ((x^{2} + 1) (2 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.4.5.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} + 2) (2 \cdot ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.4.5.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) - 4 (- 2 x^{2} + 2) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.5.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.5.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{- 4 {(x^{2} + 1)}^{2} x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.2

Reescreva ${(x^{2} + 1)}^{2}$ como $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.3

Expanda $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.5.3.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.4.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.4.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.4.1.1.2

Some $2$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.4.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.4.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.4.1.4

Multiplique $1$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.4.2

Some $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{(- 4 x^{4} - 4 (2 x^{2}) - 4 \cdot 1) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.6.1

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{(- 4 x^{4} - 8 x^{2} - 4 \cdot 1) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.6.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 4 x^{4} - 8 x^{2} - 4) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{4} x - 8 x^{2} x - 4 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.8.1

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.8.1.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x \cdot x^{4}) - 8 x^{2} x - 4 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.8.1.2

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.8.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x \cdot x^{4}) - 8 x^{2} x - 4 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.8.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{1 + 4} - 8 x^{2} x - 4 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.8.1.3

Some $1$ e $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{2} x - 4 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.8.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.8.2.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 (x \cdot x^{2}) - 4 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.8.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.8.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 (x \cdot x^{2}) - 4 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.8.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{1 + 2} - 4 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.8.2.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.9

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.9.1

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + (8 x^{2} - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.9.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + (8 x^{2} - 8) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.10

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.10.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.10.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.10.1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + (8 x^{2} - 8) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.10.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + (8 x^{2} - 8) (x^{2 + 1} + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.10.1.2

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + (8 x^{2} - 8) (x^{3} + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.10.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + (8 x^{2} - 8) (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.11

Expanda $(8 x^{2} - 8) (x^{3} + x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 x^{2} (x^{3} + x) - 8 (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 x^{2} x^{3} + 8 x^{2} x - 8 (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.11.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 x^{2} x^{3} + 8 x^{2} x - 8 x^{3} - 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.12

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.12.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.12.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.12.1.1.1

Mova $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 (x^{3} x^{2}) + 8 x^{2} x - 8 x^{3} - 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.12.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 x^{3 + 2} + 8 x^{2} x - 8 x^{3} - 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.12.1.1.3

Some $3$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 x^{5} + 8 x^{2} x - 8 x^{3} - 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.12.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.12.1.2.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 x^{5} + 8 (x \cdot x^{2}) - 8 x^{3} - 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.12.1.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.12.1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 x^{5} + 8 (x \cdot x^{2}) - 8 x^{3} - 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.12.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 x^{5} + 8 x^{1 + 2} - 8 x^{3} - 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.12.1.2.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 x^{5} + 8 x^{3} - 8 x^{3} - 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.12.2

Subtraia $8 x^{3}$ de $8 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 x^{5} + 0 - 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.12.3

Some $8 x^{5}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 x^{5} - 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.2

Some $- 4 x^{5}$ e $8 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x - 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.3

Subtraia $8 x$ de $- 4 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} - 8 x^{3} - 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.4.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{5} - 8 x^{3} - 12 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.4.1.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4}) - 8 x^{3} - 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.4.1.2

Fatore $4 x$ de $- 8 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4}) + 4 x (- 2 x^{2}) - 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.4.1.3

Fatore $4 x$ de $- 12 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4}) + 4 x (- 2 x^{2}) + 4 x (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.4.1.4

Fatore $4 x$ de $4 x (x^{4}) + 4 x (- 2 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4} - 2 x^{2}) + 4 x (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.4.1.5

Fatore $4 x$ de $4 x (x^{4} - 2 x^{2}) + 4 x (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4} - 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.4.2

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x ({(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.4.3

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (u^{2} - 2 u - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.4.4

Fatore $u^{2} - 2 u - 3$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.4.4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 3$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 3, 1$

Etapa 1.2.5.4.4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$f'' (x) = \frac{4 x ((u - 3) (u + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.4.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.5

Cancele o fator comum de $x^{2} + 1$ e ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.5.1

Fatore $x^{2} + 1$ de $4 x (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.5.2.1

Fatore $x^{2} + 1$ de ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x (x^{2} - 3))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.5.5.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x (x^{2} - 3))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.5.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{4 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{4 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{4 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{4 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$4 x (x^{2} - 3) = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

Etapa 2.3.2

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.3.3

Defina $x^{2} - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Defina $x^{2} - 3$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Etapa 2.3.3.2

Resolva $x^{2} - 3 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 3$

Etapa 2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Etapa 2.3.3.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{3}$

Etapa 2.3.3.2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{3}$

Etapa 2.3.3.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Etapa 2.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $4 x (x^{2} - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $0$ em $f (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = \frac{2 (0)}{{(0)}^{2} + 1}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0^{2} + 1}$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 + 1}$

Etapa 3.1.2.2.2

Some $0$ e $1$ .

$f (0) = \frac{0}{1}$

Etapa 3.1.2.3

Divida $0$ por $1$ .

$f (0) = 0$

Etapa 3.1.2.4

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $0$ em $f (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ é $(0, 0)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(0, 0)$

Etapa 3.3

Substitua $\sqrt{3}$ em $f (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Substitua a variável $x$ por $\sqrt{3}$ na expressão.

$f (\sqrt{3}) = \frac{2 (\sqrt{3})}{{(\sqrt{3})}^{2} + 1}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1}$

Etapa 3.3.2.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}$

Etapa 3.3.2.1.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 1}$

Etapa 3.3.2.1.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\sqrt{3}) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 1}$

Etapa 3.3.2.1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\sqrt{3}) = \frac{2 \sqrt{3}}{3 + 1}$

Etapa 3.3.2.1.1.5

Avalie o expoente.

$f (\sqrt{3}) = \frac{2 \sqrt{3}}{3 + 1}$

Etapa 3.3.2.1.2

Some $3$ e $1$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{2 \sqrt{3}}{4}$

Etapa 3.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Fatore $2$ de $2 \sqrt{3}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{2 (\sqrt{3})}{4}$

Etapa 3.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\sqrt{3}) = \frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 3.3.2.3

A resposta final é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 3.4

O ponto encontrado ao substituir $\sqrt{3}$ em $f (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ é $(\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 3.5

Substitua $- \sqrt{3}$ em $f (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Substitua a variável $x$ por $- \sqrt{3}$ na expressão.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{2 (- \sqrt{3})}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Etapa 3.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- 2 \sqrt{3}}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Etapa 3.5.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.1

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- 2 \sqrt{3}}{{(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Etapa 3.5.2.2.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- 2 \sqrt{3}}{1 {\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Etapa 3.5.2.2.3

Multiplique ${\sqrt{3}}^{2}$ por $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- 2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Etapa 3.5.2.2.4

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- 2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1}$

Etapa 3.5.2.2.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- 2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}$

Etapa 3.5.2.2.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- 2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 1}$

Etapa 3.5.2.2.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.4.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- 2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 1}$

Etapa 3.5.2.2.4.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- 2 \sqrt{3}}{3 + 1}$

Etapa 3.5.2.2.4.5

Avalie o expoente.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- 2 \sqrt{3}}{3 + 1}$

Etapa 3.5.2.2.5

Some $3$ e $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- 2 \sqrt{3}}{4}$

Etapa 3.5.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.3.1

Cancele o fator comum de $- 2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.3.1.1

Fatore $2$ de $- 2 \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{2 (- \sqrt{3})}{4}$

Etapa 3.5.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.3.1.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{2 (- \sqrt{3})}{2 (2)}$

Etapa 3.5.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{2 (- \sqrt{3})}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.5.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 3.5.2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \sqrt{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 3.5.2.4

A resposta final é $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 3.6

O ponto encontrado ao substituir $- \sqrt{3}$ em $f (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ é $(- \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 3.7

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(0, 0), (\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2}), (- \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - \sqrt{3}) \cup (- \sqrt{3}, 0) \cup (0, \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - \sqrt{3})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.8320508$ na expressão.

$f'' (- 1.8320508) = \frac{4 (- 1.8320508) ({(- 1.8320508)}^{2} - 3)}{{({(- 1.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Multiplique $4$ por $- 1.8320508$ .

$f'' (- 1.8320508) = \frac{- 7.32820323 ({(- 1.8320508)}^{2} - 3)}{{({(- 1.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $- 7.32820323$ por ${(- 1.8320508)}^{2} - 3$ .

$f'' (- 1.8320508) = \frac{- 2.61184609}{{({(- 1.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Eleve $- 1.8320508$ à potência de $2$ .

$f'' (- 1.8320508) = \frac{- 2.61184609}{{(3.35641016 + 1)}^{3}}$

Etapa 5.2.2.2

Some $3.35641016$ e $1$ .

$f'' (- 1.8320508) = \frac{- 2.61184609}{{4.35641016}^{3}}$

Etapa 5.2.2.3

Eleve $4.35641016$ à potência de $3$ .

$f'' (- 1.8320508) = \frac{- 2.61184609}{82.67730033}$

Etapa 5.2.3

Divida $- 2.61184609$ por $82.67730033$ .

$f'' (- 1.8320508) = - 0.03159084$

Etapa 5.2.4

A resposta final é $- 0.03159084$ .

$- 0.03159084$

Etapa 5.3

Em $- 1.8320508$ , a segunda derivada é $- 0.03159084$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, - \sqrt{3})$ .

Decréscimo em $(- \infty, - \sqrt{3})$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \sqrt{3}, 0)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.8660254$ na expressão.

$f'' (- 0.8660254) = \frac{4 (- 0.8660254) ({(- 0.8660254)}^{2} - 3)}{{({(- 0.8660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Multiplique $4$ por $- 0.8660254$ .

$f'' (- 0.8660254) = \frac{- 3.46410161 ({(- 0.8660254)}^{2} - 3)}{{({(- 0.8660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 3.46410161$ por ${(- 0.8660254)}^{2} - 3$ .

$f'' (- 0.8660254) = \frac{7.79422863}{{({(- 0.8660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Eleve $- 0.8660254$ à potência de $2$ .

$f'' (- 0.8660254) = \frac{7.79422863}{{(0.75 + 1)}^{3}}$

Etapa 6.2.2.2

Some $0.75$ e $1$ .

$f'' (- 0.8660254) = \frac{7.79422863}{{1.75}^{3}}$

Etapa 6.2.2.3

Eleve $1.75$ à potência de $3$ .

$f'' (- 0.8660254) = \frac{7.79422863}{5.359375}$

Etapa 6.2.3

Divida $7.79422863$ por $5.359375$ .

$f'' (- 0.8660254) = 1.45431671$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $1.45431671$ .

$1.45431671$

Etapa 6.3

Em $- 0.8660254$ , a segunda derivada é $1.45431671$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \sqrt{3}, 0)$ .

Acréscimo em $(- \sqrt{3}, 0)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(0, \sqrt{3})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0.8660254$ na expressão.

$f'' (0.8660254) = \frac{4 (0.8660254) ({(0.8660254)}^{2} - 3)}{{({(0.8660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Multiplique $4$ por $0.8660254$ .

$f'' (0.8660254) = \frac{3.46410161 ({0.8660254}^{2} - 3)}{{({0.8660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $3.46410161$ por ${0.8660254}^{2} - 3$ .

$f'' (0.8660254) = \frac{- 7.79422863}{{({0.8660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Eleve $0.8660254$ à potência de $2$ .

$f'' (0.8660254) = \frac{- 7.79422863}{{(0.75 + 1)}^{3}}$

Etapa 7.2.2.2

Some $0.75$ e $1$ .

$f'' (0.8660254) = \frac{- 7.79422863}{{1.75}^{3}}$

Etapa 7.2.2.3

Eleve $1.75$ à potência de $3$ .

$f'' (0.8660254) = \frac{- 7.79422863}{5.359375}$

Etapa 7.2.3

Divida $- 7.79422863$ por $5.359375$ .

$f'' (0.8660254) = - 1.45431671$

Etapa 7.2.4

A resposta final é $- 1.45431671$ .

$- 1.45431671$

Etapa 7.3

Em $0.8660254$ , a segunda derivada é $- 1.45431671$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(0, \sqrt{3})$ .

Decréscimo em $(0, \sqrt{3})$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(\sqrt{3}, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $1.8320508$ na expressão.

$f'' (1.8320508) = \frac{4 (1.8320508) ({(1.8320508)}^{2} - 3)}{{({(1.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Multiplique $4$ por $1.8320508$ .

$f'' (1.8320508) = \frac{7.32820323 ({1.8320508}^{2} - 3)}{{({1.8320508}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $7.32820323$ por ${1.8320508}^{2} - 3$ .

$f'' (1.8320508) = \frac{2.61184609}{{({1.8320508}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Eleve $1.8320508$ à potência de $2$ .

$f'' (1.8320508) = \frac{2.61184609}{{(3.35641016 + 1)}^{3}}$

Etapa 8.2.2.2

Some $3.35641016$ e $1$ .

$f'' (1.8320508) = \frac{2.61184609}{{4.35641016}^{3}}$

Etapa 8.2.2.3

Eleve $4.35641016$ à potência de $3$ .

$f'' (1.8320508) = \frac{2.61184609}{82.67730033}$

Etapa 8.2.3

Divida $2.61184609$ por $82.67730033$ .

$f'' (1.8320508) = 0.03159084$

Etapa 8.2.4

A resposta final é $0.03159084$ .

$0.03159084$

Etapa 8.3

Em $1.8320508$ , a segunda derivada é $0.03159084$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(\sqrt{3}, \infty)$ .

Acréscimo em $(\sqrt{3}, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{2}), (0, 0), (\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

$(- \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{2}), (0, 0), (\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 10