Cálculo Exemplos

$x e^{x}$

Etapa 1

Escreva $x e^{x}$ como uma função.

$f (x) = x e^{x}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Etapa 2.1.3.2

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x e^{x} + e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 2.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

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Etapa 2.2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 2.2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 2.2.2.4

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} + e^{x}$

Etapa 2.2.4

Simplifique.

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Etapa 2.2.4.1

Some $e^{x}$ e $e^{x}$ .

$x e^{x} + 2 e^{x}$

Etapa 2.2.4.2

Reordene os termos.

$e^{x} x + 2 e^{x}$

Etapa 2.2.4.3

Reordene os fatores em $e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$f'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $x e^{x} + 2 e^{x}$ .

$x e^{x} + 2 e^{x}$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $x e^{x} + 2 e^{x} = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$x e^{x} + 2 e^{x} = 0$

Etapa 3.2

Fatore $e^{x}$ de $x e^{x} + 2 e^{x}$ .

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Etapa 3.2.1

Fatore $e^{x}$ de $x e^{x}$ .

$e^{x} x + 2 e^{x} = 0$

Etapa 3.2.2

Fatore $e^{x}$ de $2 e^{x}$ .

$e^{x} x + e^{x} \cdot 2 = 0$

Etapa 3.2.3

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} x + e^{x} \cdot 2$ .

$e^{x} (x + 2) = 0$

Etapa 3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

Etapa 3.4

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.4.1

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Etapa 3.4.2

Resolva $e^{x} = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.4.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Etapa 3.4.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 3.4.2.3

Não há uma solução para $e^{x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 3.5

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.5.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 3.5.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 3.6

A solução final são todos os valores que tornam $e^{x} (x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = - 2$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

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Etapa 4.1

Substitua $- 2$ em $f (x) = x e^{x}$ para encontrar o valor de $y$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = (- 2) \cdot e^{- 2}$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.1.2.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 2) = - 2 \cdot \frac{1}{e^{2}}$

Etapa 4.1.2.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f (- 2) = \frac{- 2}{e^{2}}$

Etapa 4.1.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- 2) = - \frac{2}{e^{2}}$

Etapa 4.1.2.4

A resposta final é $- \frac{2}{e^{2}}$ .

$- \frac{2}{e^{2}}$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $- 2$ em $f (x) = x e^{x}$ é $(- 2, - \frac{2}{e^{2}})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- 2, - \frac{2}{e^{2}})$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 2)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 2.1$ na expressão.

$f'' (- 2.1) = (- 2.1) \cdot e^{- 2.1} + 2 e^{- 2.1}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 2.1) = - 2.1 \cdot \frac{1}{e^{2.1}} + 2 e^{- 2.1}$

Etapa 6.2.1.2

Combine $- 2.1$ e $\frac{1}{e^{2.1}}$ .

$f'' (- 2.1) = \frac{- 2.1}{e^{2.1}} + 2 e^{- 2.1}$

Etapa 6.2.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (- 2.1) = - \frac{2.1}{e^{2.1}} + 2 e^{- 2.1}$

Etapa 6.2.1.4

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f'' (- 2.1) = - \frac{2.1}{{2.71828182}^{2.1}} + 2 e^{- 2.1}$

Etapa 6.2.1.5

Eleve $2.71828182$ à potência de $2.1$ .

$f'' (- 2.1) = - \frac{2.1}{8.16616991} + 2 e^{- 2.1}$

Etapa 6.2.1.6

Divida $2.1$ por $8.16616991$ .

$f'' (- 2.1) = - 1 \cdot 0.25715849 + 2 e^{- 2.1}$

Etapa 6.2.1.7

Multiplique $- 1$ por $0.25715849$ .

$f'' (- 2.1) = - 0.25715849 + 2 e^{- 2.1}$

Etapa 6.2.1.8

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 2.1) = - 0.25715849 + 2 (\frac{1}{e^{2.1}})$

Etapa 6.2.1.9

Combine $2$ e $\frac{1}{e^{2.1}}$ .

$f'' (- 2.1) = - 0.25715849 + \frac{2}{e^{2.1}}$

Etapa 6.2.2

Some $- 0.25715849$ e $\frac{2}{e^{2.1}}$ .

$f'' (- 2.1) = - 0.01224564$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 0.01224564$ .

$- 0.01224564$

Etapa 6.3

Em $- 2.1$ , a segunda derivada é $- 0.01224564$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, - 2)$ .

Decréscimo em $(- \infty, - 2)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 2, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.9$ na expressão.

$f'' (- 1.9) = (- 1.9) \cdot e^{- 1.9} + 2 e^{- 1.9}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 1.9) = - 1.9 \cdot \frac{1}{e^{1.9}} + 2 e^{- 1.9}$

Etapa 7.2.1.2

Combine $- 1.9$ e $\frac{1}{e^{1.9}}$ .

$f'' (- 1.9) = \frac{- 1.9}{e^{1.9}} + 2 e^{- 1.9}$

Etapa 7.2.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (- 1.9) = - \frac{1.9}{e^{1.9}} + 2 e^{- 1.9}$

Etapa 7.2.1.4

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f'' (- 1.9) = - \frac{1.9}{{2.71828182}^{1.9}} + 2 e^{- 1.9}$

Etapa 7.2.1.5

Eleve $2.71828182$ à potência de $1.9$ .

$f'' (- 1.9) = - \frac{1.9}{6.68589444} + 2 e^{- 1.9}$

Etapa 7.2.1.6

Divida $1.9$ por $6.68589444$ .

$f'' (- 1.9) = - 1 \cdot 0.28418037 + 2 e^{- 1.9}$

Etapa 7.2.1.7

Multiplique $- 1$ por $0.28418037$ .

$f'' (- 1.9) = - 0.28418037 + 2 e^{- 1.9}$

Etapa 7.2.1.8

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 1.9) = - 0.28418037 + 2 (\frac{1}{e^{1.9}})$

Etapa 7.2.1.9

Combine $2$ e $\frac{1}{e^{1.9}}$ .

$f'' (- 1.9) = - 0.28418037 + \frac{2}{e^{1.9}}$

Etapa 7.2.2

Some $- 0.28418037$ e $\frac{2}{e^{1.9}}$ .

$f'' (- 1.9) = 0.01495686$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $0.01495686$ .

$0.01495686$

Etapa 7.3

Em $- 1.9$ , a segunda derivada é $0.01495686$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- 2, \infty)$ .

Acréscimo em $(- 2, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, o ponto de inflexão é $(- 2, - \frac{2}{e^{2}})$ .

$(- 2, - \frac{2}{e^{2}})$

Etapa 9