Cálculo Exemplos

$x^{4} - 8 x^{2}$

Etapa 1

Escreva $x^{4} - 8 x^{2}$ como uma função.

$f (x) = x^{4} - 8 x^{2}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 8 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$

Etapa 2.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} - 8 (2 x)$

Etapa 2.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 8$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 16 x$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} - 16 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

Etapa 2.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

Etapa 2.2.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

Etapa 2.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16 x$ em relação a $x$ é $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} - 16 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$12 x^{2} - 16 \cdot 1$

Etapa 2.2.3.3

Multiplique $- 16$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 16$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $12 x^{2} - 16$ .

$12 x^{2} - 16$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $12 x^{2} - 16 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$12 x^{2} - 16 = 0$

Etapa 3.2

Some $16$ aos dois lados da equação.

$12 x^{2} = 16$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $12 x^{2} = 16$ por $12$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $12 x^{2} = 16$ por $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{16}{12}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{16}{12}$

Etapa 3.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{16}{12}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Cancele o fator comum de $16$ e $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.1

Fatore $4$ de $16$ .

$x^{2} = \frac{4 (4)}{12}$

Etapa 3.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.2.1

Fatore $4$ de $12$ .

$x^{2} = \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 3}$

Etapa 3.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{2} = \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 3}$

Etapa 3.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{2} = \frac{4}{3}$

Etapa 3.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

Etapa 3.5

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Reescreva $\sqrt{\frac{4}{3}}$ como $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Etapa 3.5.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 3.5.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

Etapa 3.5.3

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 3.5.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 3.5.4.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 3.5.4.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 3.5.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.5.4.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 3.5.4.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.5.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.5.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.5.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.5.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 3.5.4.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 3.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 3.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 3.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ em $f (x) = x^{4} - 8 x^{2}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ na expressão.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{4} - 8 {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{{(2 \sqrt{3})}^{4}}{3^{4}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 4.1.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{2^{4} {\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 4.1.2.1.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.2.1

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16 {\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 4.1.2.1.2.2

Reescreva ${\sqrt{3}}^{4}$ como $3^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{3^{4}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 4.1.2.1.2.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{3^{4}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 4.1.2.1.2.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16 \cdot 3^{\frac{4}{2}}}{3^{4}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 4.1.2.1.2.2.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.2.2.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{3^{4}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 4.1.2.1.2.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.2.2.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{3^{4}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 4.1.2.1.2.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{3^{4}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 4.1.2.1.2.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16 \cdot 3^{\frac{2}{1}}}{3^{4}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 4.1.2.1.2.2.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16 \cdot 3^{2}}{3^{4}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 4.1.2.1.2.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16 \cdot 9}{3^{4}} - 8 {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 4.1.2.1.3

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16 \cdot 9}{81} - 8 {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 4.1.2.1.4

Multiplique $16$ por $9$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{144}{81} - 8 {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 4.1.2.1.5

Cancele o fator comum de $144$ e $81$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.5.1

Fatore $9$ de $144$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{9 (16)}{81} - 8 {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 4.1.2.1.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.5.2.1

Fatore $9$ de $81$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 16}{9 \cdot 9} - 8 {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 4.1.2.1.5.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 16}{9 \cdot 9} - 8 {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 4.1.2.1.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16}{9} - 8 {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 4.1.2.1.6

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.6.1

Aplique a regra do produto a $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16}{9} - 8 \frac{{(2 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}}$

Etapa 4.1.2.1.6.2

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16}{9} - 8 \frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$

Etapa 4.1.2.1.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.7.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16}{9} - 8 \frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$

Etapa 4.1.2.1.7.2

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.7.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16}{9} - 8 \frac{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}$

Etapa 4.1.2.1.7.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16}{9} - 8 \frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}$

Etapa 4.1.2.1.7.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16}{9} - 8 \frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}$

Etapa 4.1.2.1.7.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.7.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16}{9} - 8 \frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}$

Etapa 4.1.2.1.7.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16}{9} - 8 \frac{4 \cdot 3}{3^{2}}$

Etapa 4.1.2.1.7.2.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16}{9} - 8 \frac{4 \cdot 3}{3^{2}}$

Etapa 4.1.2.1.8

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16}{9} - 8 \frac{4 \cdot 3}{9}$

Etapa 4.1.2.1.9

Multiplique $4$ por $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16}{9} - 8 (\frac{12}{9})$

Etapa 4.1.2.1.10

Cancele o fator comum de $12$ e $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.10.1

Fatore $3$ de $12$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16}{9} - 8 \frac{3 (4)}{9}$

Etapa 4.1.2.1.10.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.10.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16}{9} - 8 \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3}$

Etapa 4.1.2.1.10.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16}{9} - 8 \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3}$

Etapa 4.1.2.1.10.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16}{9} - 8 (\frac{4}{3})$

Etapa 4.1.2.1.11

Multiplique $- 8 (\frac{4}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.11.1

Combine $- 8$ e $\frac{4}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16}{9} + \frac{- 8 \cdot 4}{3}$

Etapa 4.1.2.1.11.2

Multiplique $- 8$ por $4$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16}{9} + \frac{- 32}{3}$

Etapa 4.1.2.1.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16}{9} - \frac{32}{3}$

Etapa 4.1.2.2

Para escrever $- \frac{32}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16}{9} - \frac{32}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 4.1.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $9$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.1

Multiplique $\frac{32}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16}{9} - \frac{32 \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Etapa 4.1.2.3.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16}{9} - \frac{32 \cdot 3}{9}$

Etapa 4.1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16 - 32 \cdot 3}{9}$

Etapa 4.1.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.5.1

Multiplique $- 32$ por $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16 - 96}{9}$

Etapa 4.1.2.5.2

Subtraia $96$ de $16$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 80}{9}$

Etapa 4.1.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{80}{9}$

Etapa 4.1.2.7

A resposta final é $- \frac{80}{9}$ .

$- \frac{80}{9}$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ em $f (x) = x^{4} - 8 x^{2}$ é $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{80}{9})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{80}{9})$

Etapa 4.3

Substitua $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ em $f (x) = x^{4} - 8 x^{2}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ na expressão.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = {(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{4} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = {(- 1)}^{4} {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{4} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = {(- 1)}^{4} (\frac{{(2 \sqrt{3})}^{4}}{3^{4}}) - 8 {(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.1.3

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = {(- 1)}^{4} (\frac{2^{4} {\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}) - 8 {(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = 1 (\frac{2^{4} {\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}) - 8 {(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.3

Multiplique $\frac{2^{4} {\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}$ por $1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{2^{4} {\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.4.1

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16 {\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.4.2

Reescreva ${\sqrt{3}}^{4}$ como $3^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.4.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{3^{4}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.4.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{3^{4}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.4.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16 \cdot 3^{\frac{4}{2}}}{3^{4}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.4.2.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.4.2.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{3^{4}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.4.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.4.2.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{3^{4}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.4.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{3^{4}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.4.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16 \cdot 3^{\frac{2}{1}}}{3^{4}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.4.2.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16 \cdot 3^{2}}{3^{4}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.4.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16 \cdot 9}{3^{4}} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.5

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16 \cdot 9}{81} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.6

Multiplique $16$ por $9$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{144}{81} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.7

Cancele o fator comum de $144$ e $81$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.7.1

Fatore $9$ de $144$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{9 (16)}{81} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.7.2.1

Fatore $9$ de $81$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 16}{9 \cdot 9} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.7.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 16}{9 \cdot 9} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.7.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16}{9} - 8 {(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.8

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.8.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16}{9} - 8 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2})$

Etapa 4.3.2.1.8.2

Aplique a regra do produto a $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16}{9} - 8 ({(- 1)}^{2} (\frac{{(2 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}}))$

Etapa 4.3.2.1.8.3

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16}{9} - 8 ({(- 1)}^{2} (\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}))$

Etapa 4.3.2.1.9

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16}{9} - 8 (1 (\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}))$

Etapa 4.3.2.1.10

Multiplique $\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16}{9} - 8 \frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$

Etapa 4.3.2.1.11

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.11.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16}{9} - 8 \frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$

Etapa 4.3.2.1.11.2

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.11.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16}{9} - 8 \frac{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}$

Etapa 4.3.2.1.11.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16}{9} - 8 \frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}$

Etapa 4.3.2.1.11.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16}{9} - 8 \frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}$

Etapa 4.3.2.1.11.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.11.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16}{9} - 8 \frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}$

Etapa 4.3.2.1.11.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16}{9} - 8 \frac{4 \cdot 3}{3^{2}}$

Etapa 4.3.2.1.11.2.5

Avalie o expoente.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16}{9} - 8 \frac{4 \cdot 3}{3^{2}}$

Etapa 4.3.2.1.12

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16}{9} - 8 \frac{4 \cdot 3}{9}$

Etapa 4.3.2.1.13

Multiplique $4$ por $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16}{9} - 8 (\frac{12}{9})$

Etapa 4.3.2.1.14

Cancele o fator comum de $12$ e $9$ .

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Etapa 4.3.2.1.14.1

Fatore $3$ de $12$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16}{9} - 8 \frac{3 (4)}{9}$

Etapa 4.3.2.1.14.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.14.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16}{9} - 8 \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3}$

Etapa 4.3.2.1.14.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16}{9} - 8 \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3}$

Etapa 4.3.2.1.14.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16}{9} - 8 (\frac{4}{3})$

Etapa 4.3.2.1.15

Multiplique $- 8 (\frac{4}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.15.1

Combine $- 8$ e $\frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16}{9} + \frac{- 8 \cdot 4}{3}$

Etapa 4.3.2.1.15.2

Multiplique $- 8$ por $4$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16}{9} + \frac{- 32}{3}$

Etapa 4.3.2.1.16

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16}{9} - \frac{32}{3}$

Etapa 4.3.2.2

Para escrever $- \frac{32}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16}{9} - \frac{32}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 4.3.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $9$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.1

Multiplique $\frac{32}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16}{9} - \frac{32 \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Etapa 4.3.2.3.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16}{9} - \frac{32 \cdot 3}{9}$

Etapa 4.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16 - 32 \cdot 3}{9}$

Etapa 4.3.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.2.5.1

Multiplique $- 32$ por $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16 - 96}{9}$

Etapa 4.3.2.5.2

Subtraia $96$ de $16$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 80}{9}$

Etapa 4.3.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{80}{9}$

Etapa 4.3.2.7

A resposta final é $- \frac{80}{9}$ .

$- \frac{80}{9}$

Etapa 4.4

O ponto encontrado ao substituir $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ em $f (x) = x^{4} - 8 x^{2}$ é $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{80}{9})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{80}{9})$

Etapa 4.5

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{80}{9}), (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{80}{9})$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.25470053$ na expressão.

$f'' (- 1.25470053) = 12 {(- 1.25470053)}^{2} - 16$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 1.25470053$ à potência de $2$ .

$f'' (- 1.25470053) = 12 \cdot 1.57427344 - 16$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $12$ por $1.57427344$ .

$f'' (- 1.25470053) = 18.89128129 - 16$

Etapa 6.2.2

Subtraia $16$ de $18.89128129$ .

$f'' (- 1.25470053) = 2.89128129$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $2.89128129$ .

$2.89128129$

Etapa 6.3

Em $- 1.25470053$ , a segunda derivada é $2.89128129$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ .

Acréscimo em $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = 12 {(0)}^{2} - 16$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = 12 \cdot 0 - 16$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $12$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 - 16$

Etapa 7.2.2

Subtraia $16$ de $0$ .

$f'' (0) = - 16$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 16$ .

$- 16$

Etapa 7.3

Em $0$ , a segunda derivada é $- 16$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ .

Decréscimo em $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $1.25470053$ na expressão.

$f'' (1.25470053) = 12 {(1.25470053)}^{2} - 16$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Eleve $1.25470053$ à potência de $2$ .

$f'' (1.25470053) = 12 \cdot 1.57427344 - 16$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $12$ por $1.57427344$ .

$f'' (1.25470053) = 18.89128129 - 16$

Etapa 8.2.2

Subtraia $16$ de $18.89128129$ .

$f'' (1.25470053) = 2.89128129$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $2.89128129$ .

$2.89128129$

Etapa 8.3

Em $1.25470053$ , a segunda derivada é $2.89128129$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ .

Acréscimo em $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 9

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, os pontos de inflexão são $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{80}{9}), (\frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{80}{9})$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{80}{9}), (\frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{80}{9})$

Etapa 10