Cálculo Exemplos

$x^{4} - 2 x^{2} + 1$

Etapa 1

Escreva $x^{4} - 2 x^{2} + 1$ como uma função.

$f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 1$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 2 x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$4 x^{3} - 4 x + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x^{3} - 4 x + 0$

Etapa 2.1.3.2

Some $4 x^{3} - 4 x$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} - 4 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Etapa 2.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Etapa 2.2.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Etapa 2.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$12 x^{2} - 4 \cdot 1$

Etapa 2.2.3.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $12 x^{2} - 4$ .

$12 x^{2} - 4$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $12 x^{2} - 4 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$12 x^{2} - 4 = 0$

Etapa 3.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$12 x^{2} = 4$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $12 x^{2} = 4$ por $12$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $12 x^{2} = 4$ por $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{4}{12}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{4}{12}$

Etapa 3.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{12}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Cancele o fator comum de $4$ e $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.1

Fatore $4$ de $4$ .

$x^{2} = \frac{4 (1)}{12}$

Etapa 3.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.2.1

Fatore $4$ de $12$ .

$x^{2} = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Etapa 3.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{2} = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Etapa 3.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{2} = \frac{1}{3}$

Etapa 3.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Etapa 3.5

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{3}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Etapa 3.5.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Etapa 3.5.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 3.5.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 3.5.4.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 3.5.4.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 3.5.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.5.4.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 3.5.4.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.5.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.5.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.5.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.5.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 3.5.4.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 3.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 3.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 3.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $\frac{\sqrt{3}}{3}$ em $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 1$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{\sqrt{3}}{3}$ na expressão.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{4} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Etapa 4.1.2.1.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.2.1

Reescreva ${\sqrt{3}}^{4}$ como $3^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.2.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Etapa 4.1.2.1.2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Etapa 4.1.2.1.2.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{4}{2}}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Etapa 4.1.2.1.2.1.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.2.1.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Etapa 4.1.2.1.2.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.2.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Etapa 4.1.2.1.2.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Etapa 4.1.2.1.2.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{1}}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Etapa 4.1.2.1.2.1.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{2}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Etapa 4.1.2.1.2.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Etapa 4.1.2.1.3

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9}{81} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Etapa 4.1.2.1.4

Cancele o fator comum de $9$ e $81$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.4.1

Fatore $9$ de $9$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 (1)}{81} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Etapa 4.1.2.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.4.2.1

Fatore $9$ de $81$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Etapa 4.1.2.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Etapa 4.1.2.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Etapa 4.1.2.1.5

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 1$

Etapa 4.1.2.1.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 1$

Etapa 4.1.2.1.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 1$

Etapa 4.1.2.1.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 1$

Etapa 4.1.2.1.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.6.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 1$

Etapa 4.1.2.1.6.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3}{3^{2}} + 1$

Etapa 4.1.2.1.6.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3}{3^{2}} + 1$

Etapa 4.1.2.1.7

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 (\frac{3}{9}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.8

Cancele o fator comum de $3$ e $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.8.1

Fatore $3$ de $3$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 (1)}{9} + 1$

Etapa 4.1.2.1.8.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.8.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + 1$

Etapa 4.1.2.1.8.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + 1$

Etapa 4.1.2.1.8.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 (\frac{1}{3}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.9

Combine $- 2$ e $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} + \frac{- 2}{3} + 1$

Etapa 4.1.2.1.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2}{3} + 1$

Etapa 4.1.2.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - (\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{3}) + 1$

Etapa 4.1.2.2.2

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + 1$

Etapa 4.1.2.2.3

Escreva $1$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{1}{1}$

Etapa 4.1.2.2.4

Multiplique $\frac{1}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Etapa 4.1.2.2.5

Multiplique $\frac{1}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{9}{9}$

Etapa 4.1.2.2.6

Multiplique $3$ por $3$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{9} + \frac{9}{9}$

Etapa 4.1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 - 2 \cdot 3 + 9}{9}$

Etapa 4.1.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.4.1

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 - 6 + 9}{9}$

Etapa 4.1.2.4.2

Subtraia $6$ de $1$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{- 5 + 9}{9}$

Etapa 4.1.2.4.3

Some $- 5$ e $9$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{9}$

Etapa 4.1.2.5

A resposta final é $\frac{4}{9}$ .

$\frac{4}{9}$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $\frac{\sqrt{3}}{3}$ em $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 1$ é $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{4}{9})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{4}{9})$

Etapa 4.3

Substitua $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ em $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 1$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ na expressão.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{4} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Etapa 4.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = {(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{4} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Etapa 4.3.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = {(- 1)}^{4} (\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}) - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Etapa 4.3.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 1 (\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}) - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Etapa 4.3.2.1.3

Multiplique $\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}$ por $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Etapa 4.3.2.1.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.4.1

Reescreva ${\sqrt{3}}^{4}$ como $3^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.4.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Etapa 4.3.2.1.4.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Etapa 4.3.2.1.4.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{4}{2}}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Etapa 4.3.2.1.4.1.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.4.1.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Etapa 4.3.2.1.4.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.4.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Etapa 4.3.2.1.4.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Etapa 4.3.2.1.4.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{1}}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Etapa 4.3.2.1.4.1.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{2}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Etapa 4.3.2.1.4.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Etapa 4.3.2.1.5

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9}{81} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Etapa 4.3.2.1.6

Cancele o fator comum de $9$ e $81$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.6.1

Fatore $9$ de $9$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 (1)}{81} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Etapa 4.3.2.1.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.6.2.1

Fatore $9$ de $81$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Etapa 4.3.2.1.6.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Etapa 4.3.2.1.6.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1$

Etapa 4.3.2.1.7

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.7.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}) + 1$

Etapa 4.3.2.1.7.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}})) + 1$

Etapa 4.3.2.1.8

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 (1 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}})) + 1$

Etapa 4.3.2.1.9

Multiplique $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 1$

Etapa 4.3.2.1.10

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.10.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 1$

Etapa 4.3.2.1.10.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 1$

Etapa 4.3.2.1.10.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 1$

Etapa 4.3.2.1.10.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.10.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 1$

Etapa 4.3.2.1.10.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3}{3^{2}} + 1$

Etapa 4.3.2.1.10.5

Avalie o expoente.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3}{3^{2}} + 1$

Etapa 4.3.2.1.11

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 (\frac{3}{9}) + 1$

Etapa 4.3.2.1.12

Cancele o fator comum de $3$ e $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.12.1

Fatore $3$ de $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 (1)}{9} + 1$

Etapa 4.3.2.1.12.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.12.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + 1$

Etapa 4.3.2.1.12.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + 1$

Etapa 4.3.2.1.12.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 (\frac{1}{3}) + 1$

Etapa 4.3.2.1.13

Combine $- 2$ e $\frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} + \frac{- 2}{3} + 1$

Etapa 4.3.2.1.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2}{3} + 1$

Etapa 4.3.2.2

Encontre o denominador comum.

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Etapa 4.3.2.2.1

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - (\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{3}) + 1$

Etapa 4.3.2.2.2

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + 1$

Etapa 4.3.2.2.3

Escreva $1$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{1}{1}$

Etapa 4.3.2.2.4

Multiplique $\frac{1}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Etapa 4.3.2.2.5

Multiplique $\frac{1}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{9}{9}$

Etapa 4.3.2.2.6

Multiplique $3$ por $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{9} + \frac{9}{9}$

Etapa 4.3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 - 2 \cdot 3 + 9}{9}$

Etapa 4.3.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.2.4.1

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 - 6 + 9}{9}$

Etapa 4.3.2.4.2

Subtraia $6$ de $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{- 5 + 9}{9}$

Etapa 4.3.2.4.3

Some $- 5$ e $9$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{9}$

Etapa 4.3.2.5

A resposta final é $\frac{4}{9}$ .

$\frac{4}{9}$

Etapa 4.4

O ponto encontrado ao substituir $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ em $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 1$ é $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{4}{9})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{4}{9})$

Etapa 4.5

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{4}{9}), (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{4}{9})$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.67735026$ na expressão.

$f'' (- 0.67735026) = 12 {(- 0.67735026)}^{2} - 4$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 0.67735026$ à potência de $2$ .

$f'' (- 0.67735026) = 12 \cdot 0.45880338 - 4$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $12$ por $0.45880338$ .

$f'' (- 0.67735026) = 5.50564064 - 4$

Etapa 6.2.2

Subtraia $4$ de $5.50564064$ .

$f'' (- 0.67735026) = 1.50564064$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $1.50564064$ .

$1.50564064$

Etapa 6.3

Em $- 0.67735026$ , a segunda derivada é $1.50564064$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

Acréscimo em $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = 12 {(0)}^{2} - 4$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = 12 \cdot 0 - 4$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $12$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 - 4$

Etapa 7.2.2

Subtraia $4$ de $0$ .

$f'' (0) = - 4$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 4$ .

$- 4$

Etapa 7.3

Em $0$ , a segunda derivada é $- 4$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

Decréscimo em $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $0.67735026$ na expressão.

$f'' (0.67735026) = 12 {(0.67735026)}^{2} - 4$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Eleve $0.67735026$ à potência de $2$ .

$f'' (0.67735026) = 12 \cdot 0.45880338 - 4$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $12$ por $0.45880338$ .

$f'' (0.67735026) = 5.50564064 - 4$

Etapa 8.2.2

Subtraia $4$ de $5.50564064$ .

$f'' (0.67735026) = 1.50564064$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $1.50564064$ .

$1.50564064$

Etapa 8.3

Em $0.67735026$ , a segunda derivada é $1.50564064$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ .

Acréscimo em $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 9

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, os pontos de inflexão são $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{4}{9}), (\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{4}{9})$ .

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{4}{9}), (\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{4}{9})$

Etapa 10