Cálculo Exemplos

$f (x) = {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = x + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 3$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x + 3)$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3)$

Etapa 1.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 3$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3)$

Etapa 1.1.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)$

Etapa 1.1.3

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)$

Etapa 1.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)$

Etapa 1.1.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)$

Etapa 1.1.5.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)$

Etapa 1.1.6

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)$

Etapa 1.1.6.2

Combine $\frac{2}{3}$ e ${(x + 3)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x + 3)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3)$

Etapa 1.1.6.3

Mova ${(x + 3)}^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3)$

Etapa 1.1.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))$

Etapa 1.1.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (3))$

Etapa 1.1.9

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (1 + 0)$

Etapa 1.1.10

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.10.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1$

Etapa 1.1.10.2

Multiplique $\frac{2}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Como $\frac{2}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ em relação a $x$ é $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}})$

Etapa 1.2.1.2

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ como ${({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1})$

Etapa 1.2.1.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{\frac{1}{3} \cdot - 1})$

Etapa 1.2.1.2.2.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{\frac{- 1}{3}})$

Etapa 1.2.1.2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{- \frac{1}{3}})$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ e $g (x) = x + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 3$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x + 3))$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Etapa 1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 3$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(x + 3)}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Etapa 1.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(x + 3)}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Etapa 1.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(x + 3)}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Etapa 1.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Etapa 1.2.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Etapa 1.2.6.2

Subtraia $3$ de $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Etapa 1.2.7

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(x + 3)}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Etapa 1.2.7.2

Combine ${(x + 3)}^{- \frac{4}{3}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{{(x + 3)}^{- \frac{4}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3))$

Etapa 1.2.7.3

Mova ${(x + 3)}^{- \frac{4}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3 {(x + 3)}^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3))$

Etapa 1.2.7.4

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{3 {(x + 3)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3 (3 {(x + 3)}^{\frac{4}{3}})} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3)$

Etapa 1.2.7.5

Multiplique $3$ por $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x + 3)}^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3)$

Etapa 1.2.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x + 3)}^{\frac{4}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))$

Etapa 1.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x + 3)}^{\frac{4}{3}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (3))$

Etapa 1.2.10

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x + 3)}^{\frac{4}{3}}} \cdot (1 + 0)$

Etapa 1.2.11

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.11.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x + 3)}^{\frac{4}{3}}} \cdot 1$

Etapa 1.2.11.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{2}{9 {(x + 3)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$- \frac{2}{9 {(x + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{2}{9 {(x + 3)}^{\frac{4}{3}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- \frac{2}{9 {(x + 3)}^{\frac{4}{3}}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 = 0$

Etapa 2.3

Como $2 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 3

Nenhum valor encontrado que possa tornar a segunda derivada igual a $0$ .

Nenhum ponto de inflexão