Cálculo Exemplos

$h (x) = {(x + 2)}^{7} - 7 x - 1$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de ${(x + 2)}^{7} - 7 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{7}) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{7}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{7}$ e $g (x) = x + 2$ .

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Etapa 1.1.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 2$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{7}) \frac{d}{d x} (x + 2) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 7$ .

$f' (x) = 7 u^{6} \frac{d}{d x} (x + 2) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 2$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} \frac{d}{d x} (x + 2) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} (1 + \frac{d}{d x} (2)) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} (1 + 0) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.5

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.6

Multiplique $7$ por $1$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7 x$ em relação a $x$ é $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $- 7$ por $1$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7 + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $7 {(x + 2)}^{6} - 7$ e $0$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $h (x)$ com relação a $x$ é $7 {(x + 2)}^{6} - 7$ .

$7 {(x + 2)}^{6} - 7$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $7 {(x + 2)}^{6} - 7 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$7 {(x + 2)}^{6} - 7 = 0$

Etapa 2.2

Simplifique $7 {(x + 2)}^{6} - 7$ .

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Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1.1

Use o teorema binomial.

$7 (x^{6} + 6 x^{5} \cdot 2 + 15 x^{4} \cdot 2^{2} + 20 x^{3} \cdot 2^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Etapa 2.2.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1.2.1

Multiplique $2$ por $6$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 15 x^{4} \cdot 2^{2} + 20 x^{3} \cdot 2^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Etapa 2.2.1.2.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 15 x^{4} \cdot 4 + 20 x^{3} \cdot 2^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Etapa 2.2.1.2.3

Multiplique $4$ por $15$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 20 x^{3} \cdot 2^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Etapa 2.2.1.2.4

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 20 x^{3} \cdot 8 + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Etapa 2.2.1.2.5

Multiplique $8$ por $20$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Etapa 2.2.1.2.6

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 16 + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Etapa 2.2.1.2.7

Multiplique $16$ por $15$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 240 x^{2} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Etapa 2.2.1.2.8

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 240 x^{2} + 6 x \cdot 32 + 2^{6}) - 7 = 0$

Etapa 2.2.1.2.9

Multiplique $32$ por $6$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 240 x^{2} + 192 x + 2^{6}) - 7 = 0$

Etapa 2.2.1.2.10

Eleve $2$ à potência de $6$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 240 x^{2} + 192 x + 64) - 7 = 0$

Etapa 2.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$7 x^{6} + 7 (12 x^{5}) + 7 (60 x^{4}) + 7 (160 x^{3}) + 7 (240 x^{2}) + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

Etapa 2.2.1.4

Simplifique.

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Etapa 2.2.1.4.1

Multiplique $12$ por $7$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 7 (60 x^{4}) + 7 (160 x^{3}) + 7 (240 x^{2}) + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

Etapa 2.2.1.4.2

Multiplique $60$ por $7$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 7 (160 x^{3}) + 7 (240 x^{2}) + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

Etapa 2.2.1.4.3

Multiplique $160$ por $7$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 7 (240 x^{2}) + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

Etapa 2.2.1.4.4

Multiplique $240$ por $7$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 1680 x^{2} + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

Etapa 2.2.1.4.5

Multiplique $192$ por $7$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 1680 x^{2} + 1344 x + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

Etapa 2.2.1.4.6

Multiplique $7$ por $64$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 1680 x^{2} + 1344 x + 448 - 7 = 0$

Etapa 2.2.2

Subtraia $7$ de $448$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 1680 x^{2} + 1344 x + 441 = 0$

Etapa 2.3

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x = - 3, - 1$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $- 3, - 1$ .

$- 3, - 1$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 3)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$h' (- 4) = 7 {((- 4) + 2)}^{6} - 7$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Some $- 4$ e $2$ .

$h' (- 4) = 7 {(- 2)}^{6} - 7$

Etapa 5.2.1.2

Eleve $- 2$ à potência de $6$ .

$h' (- 4) = 7 \cdot 64 - 7$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $7$ por $64$ .

$h' (- 4) = 448 - 7$

Etapa 5.2.2

Subtraia $7$ de $448$ .

$h' (- 4) = 441$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $441$ .

$441$

Etapa 5.3

Em $x = - 4$ , a derivada é $441$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, - 3)$ .

Acréscimo em $(- \infty, - 3)$ , pois $h' (x) > 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- 3, - 1)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$h' (- 2) = 7 {((- 2) + 2)}^{6} - 7$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Some $- 2$ e $2$ .

$h' (- 2) = 7 \cdot 0^{6} - 7$

Etapa 6.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$h' (- 2) = 7 \cdot 0 - 7$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $7$ por $0$ .

$h' (- 2) = 0 - 7$

Etapa 6.2.2

Subtraia $7$ de $0$ .

$h' (- 2) = - 7$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 7$ .

$- 7$

Etapa 6.3

Em $x = - 2$ , a derivada é $- 7$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- 3, - 1)$ .

Decréscimo em $(- 3, - 1)$ , pois $h' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 1, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$h' (0) = 7 {((0) + 2)}^{6} - 7$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Some $0$ e $2$ .

$h' (0) = 7 \cdot 2^{6} - 7$

Etapa 7.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $6$ .

$h' (0) = 7 \cdot 64 - 7$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $7$ por $64$ .

$h' (0) = 448 - 7$

Etapa 7.2.2

Subtraia $7$ de $448$ .

$h' (0) = 441$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $441$ .

$441$

Etapa 7.3

Em $x = 0$ , a derivada é $441$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- 1, \infty)$ .

Acréscimo em $(- 1, \infty)$ , pois $h' (x) > 0$

Etapa 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, - 3), (- 1, \infty)$

Decréscimo em: $(- 3, - 1)$

Etapa 9