Cálculo Exemplos

$f (x) = x + \frac{1}{x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + \frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f' (x) = 1 - x^{- 2}$

Etapa 1.1.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 - \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.1.4

Reordene os termos.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 1$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{x^{2}} + 1$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 1$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- \frac{1}{x^{2}} = - 1$

Etapa 2.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 2.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x^{2}, 1$

Etapa 2.3.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x^{2}$

Etapa 2.4

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{x^{2}} = - 1$ por $x^{2}$ para eliminar as frações.

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Etapa 2.4.1

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{x^{2}} = - 1$ por $x^{2}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Etapa 2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 2.4.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x^{2}}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Etapa 2.4.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Etapa 2.4.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- 1 = - x^{2}$

Etapa 2.5

Resolva a equação.

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Etapa 2.5.1

Reescreva a equação como $- x^{2} = - 1$ .

$- x^{2} = - 1$

Etapa 2.5.2

Divida cada termo em $- x^{2} = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 2.5.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 2.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.5.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 2.5.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 2.5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.5.2.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Etapa 2.5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Etapa 2.5.4

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

Etapa 2.5.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.5.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 2.5.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 2.5.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $1, - 1$ .

$1, - 1$

Etapa 4

Encontre onde a derivada é indefinida.

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Etapa 4.1

Defina o denominador em $\frac{1}{x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} = 0$

Etapa 4.2

Resolva $x$ .

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Etapa 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 4.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 4.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 1)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = - \frac{1}{{(- 2)}^{2}} + 1$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{1}{4} + 1$

Etapa 6.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f' (- 2) = - \frac{1}{4} + \frac{4}{4}$

Etapa 6.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (- 2) = \frac{- 1 + 4}{4}$

Etapa 6.2.4

Some $- 1$ e $4$ .

$f' (- 2) = \frac{3}{4}$

Etapa 6.2.5

A resposta final é $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4}$

Etapa 6.3

Em $x = - 2$ , a derivada é $\frac{3}{4}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, - 1)$ .

Acréscimo em $(- \infty, - 1)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 1, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{1}{2}$ na expressão.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{{(- \frac{1}{2})}^{2}} + 1$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 7.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}} + 1$

Etapa 7.2.1.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{1 {(\frac{1}{2})}^{2}} + 1$

Etapa 7.2.1.1.3

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})} + 1$

Etapa 7.2.1.1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{1 (\frac{1}{2^{2}})} + 1$

Etapa 7.2.1.1.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{1 (\frac{1}{4})} + 1$

Etapa 7.2.1.1.6

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{\frac{1}{4}} + 1$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f' (- \frac{1}{2}) = - (1 \cdot 4) + 1$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $- (1 \cdot 4)$ .

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Etapa 7.2.1.3.1

Multiplique $4$ por $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - 1 \cdot 4 + 1$

Etapa 7.2.1.3.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - 4 + 1$

Etapa 7.2.2

Some $- 4$ e $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - 3$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 3$ .

$- 3$

Etapa 7.3

Em $x = - \frac{1}{2}$ , a derivada é $- 3$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- 1, 0)$ .

Decréscimo em $(- 1, 0)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(0, 1)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{1}{2}$ na expressão.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{2}} + 1$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.1.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 8.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{\frac{1^{2}}{2^{2}}} + 1$

Etapa 8.2.1.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{\frac{1}{2^{2}}} + 1$

Etapa 8.2.1.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{\frac{1}{4}} + 1$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f' (\frac{1}{2}) = - (1 \cdot 4) + 1$

Etapa 8.2.1.3

Multiplique $- (1 \cdot 4)$ .

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Etapa 8.2.1.3.1

Multiplique $4$ por $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - 1 \cdot 4 + 1$

Etapa 8.2.1.3.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - 4 + 1$

Etapa 8.2.2

Some $- 4$ e $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - 3$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $- 3$ .

$- 3$

Etapa 8.3

Em $x = \frac{1}{2}$ , a derivada é $- 3$ . Por ser negativa, a função diminui em $(0, 1)$ .

Decréscimo em $(0, 1)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 9

Substitua um valor do intervalo $(1, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 9.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = - \frac{1}{{(2)}^{2}} + 1$

Etapa 9.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 9.2.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (2) = - \frac{1}{4} + 1$

Etapa 9.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 9.2.2.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f' (2) = - \frac{1}{4} + \frac{4}{4}$

Etapa 9.2.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (2) = \frac{- 1 + 4}{4}$

Etapa 9.2.2.3

Some $- 1$ e $4$ .

$f' (2) = \frac{3}{4}$

Etapa 9.2.3

A resposta final é $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4}$

Etapa 9.3

Em $x = 2$ , a derivada é $\frac{3}{4}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(1, \infty)$ .

Acréscimo em $(1, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 10

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, - 1), (1, \infty)$

Decréscimo em: $(- 1, 0), (0, 1)$

Etapa 11