Cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{4} x^{4} - 18 x^{2}$

Etapa 1

Escreva $y = \frac{1}{4} x^{4} - 18 x^{2}$ como uma função.

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - 18 x^{2}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{4} x^{4} - 18 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{4} x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2})$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

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Etapa 2.1.2.1

Como $\frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{4} x^{4}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2})$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2})$

Etapa 2.1.2.3

Combine $4$ e $\frac{1}{4}$ .

$f' (x) = \frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2})$

Etapa 2.1.2.4

Combine $\frac{4}{4}$ e $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2})$

Etapa 2.1.2.5

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 2.1.2.5.1

Cancele o fator comum.

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2})$

Etapa 2.1.2.5.2

Divida $x^{3}$ por $1$ .

$f' (x) = x^{3} + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2})$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $- 18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 18 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = x^{3} - 18 \frac{d}{d x} x^{2}$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = x^{3} - 18 (2 x)$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 18$ .

$f' (x) = x^{3} - 36 x$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $x^{3} - 36 x$ .

$x^{3} - 36 x$

Etapa 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $x^{3} - 36 x = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$x^{3} - 36 x = 0$

Etapa 3.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.2.1

Fatore $x$ de $x^{3} - 36 x$ .

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Etapa 3.2.1.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 36 x = 0$

Etapa 3.2.1.2

Fatore $x$ de $- 36 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 36 = 0$

Etapa 3.2.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 36$ .

$x (x^{2} - 36) = 0$

Etapa 3.2.2

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$x (x^{2} - 6^{2}) = 0$

Etapa 3.2.3

Fatore.

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Etapa 3.2.3.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 6$ .

$x ((x + 6) (x - 6)) = 0$

Etapa 3.2.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x (x + 6) (x - 6) = 0$

Etapa 3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 6 = 0$

$x - 6 = 0$

Etapa 3.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.5

Defina $x + 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.5.1

Defina $x + 6$ como igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Etapa 3.5.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$x = - 6$

Etapa 3.6

Defina $x - 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.6.1

Defina $x - 6$ como igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Etapa 3.6.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

Etapa 3.7

A solução final são todos os valores que tornam $x (x + 6) (x - 6) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 6, 6$

Etapa 4

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $0, - 6, 6$ .

$0, - 6, 6$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 6)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 7$ na expressão.

$f' (- 7) = {(- 7)}^{3} - 36 \cdot - 7$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 7$ à potência de $3$ .

$f' (- 7) = - 343 - 36 \cdot - 7$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 36$ por $- 7$ .

$f' (- 7) = - 343 + 252$

Etapa 6.2.2

Some $- 343$ e $252$ .

$f' (- 7) = - 91$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 91$ .

$- 91$

Etapa 6.3

Em $x = - 7$ , a derivada é $- 91$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, - 6)$ .

Decréscimo em $(- \infty, - 6)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 6, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f' (- 3) = {(- 3)}^{3} - 36 \cdot - 3$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$f' (- 3) = - 27 - 36 \cdot - 3$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $- 36$ por $- 3$ .

$f' (- 3) = - 27 + 108$

Etapa 7.2.2

Some $- 27$ e $108$ .

$f' (- 3) = 81$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $81$ .

$81$

Etapa 7.3

Em $x = - 3$ , a derivada é $81$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- 6, 0)$ .

Acréscimo em $(- 6, 0)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(0, 6)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f' (3) = {(3)}^{3} - 36 \cdot 3$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f' (3) = 27 - 36 \cdot 3$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $- 36$ por $3$ .

$f' (3) = 27 - 108$

Etapa 8.2.2

Subtraia $108$ de $27$ .

$f' (3) = - 81$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $- 81$ .

$- 81$

Etapa 8.3

Em $x = 3$ , a derivada é $- 81$ . Por ser negativa, a função diminui em $(0, 6)$ .

Decréscimo em $(0, 6)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 9

Substitua um valor do intervalo $(6, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 9.1

Substitua a variável $x$ por $7$ na expressão.

$f' (7) = {(7)}^{3} - 36 \cdot 7$

Etapa 9.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 9.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1

Eleve $7$ à potência de $3$ .

$f' (7) = 343 - 36 \cdot 7$

Etapa 9.2.1.2

Multiplique $- 36$ por $7$ .

$f' (7) = 343 - 252$

Etapa 9.2.2

Subtraia $252$ de $343$ .

$f' (7) = 91$

Etapa 9.2.3

A resposta final é $91$ .

$91$

Etapa 9.3

Em $x = 7$ , a derivada é $91$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(6, \infty)$ .

Acréscimo em $(6, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 10

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- 6, 0), (6, \infty)$

Decréscimo em: $(- \infty, - 6), (0, 6)$

Etapa 11