Cálculo Exemplos

$y = \frac{2 + x}{3 - x}$

Etapa 1

Escreva $y = \frac{2 + x}{3 - x}$ como uma função.

$f (x) = \frac{2 + x}{3 - x}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 2 + x$ e $g (x) = 3 - x$ .

$\frac{(3 - x) \frac{d}{d x} [2 + x] - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Etapa 2.1.2

Diferencie.

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Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 - x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]) - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(3 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 - x) \frac{d}{d x} [x] - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(3 - x) \cdot 1 - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.5

Multiplique $3 - x$ por $1$ .

$\frac{3 - x - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{3 - x - (2 + x) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(3 - x)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.7

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{3 - x - (2 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(3 - x)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.8

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{3 - x - (2 + x) \frac{d}{d x} [- x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.9

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 - x - (2 + x) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(3 - x)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.10

Multiplique.

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Etapa 2.1.2.10.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{3 - x + 1 (2 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.10.2

Multiplique $2 + x$ por $1$ .

$\frac{3 - x + (2 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{3 - x + (2 + x) \cdot 1}{{(3 - x)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.12

Simplifique somando os termos.

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Etapa 2.1.2.12.1

Multiplique $2 + x$ por $1$ .

$\frac{3 - x + 2 + x}{{(3 - x)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.12.2

Some $3$ e $2$ .

$\frac{- x + 5 + x}{{(3 - x)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.12.3

Some $- x$ e $x$ .

$\frac{0 + 5}{{(3 - x)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.12.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1.2.12.4.1

Some $0$ e $5$ .

$\frac{5}{{(3 - x)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.12.4.2

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$ .

$\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$

Etapa 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}} = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}} = 0$

Etapa 3.2

Defina o numerador como igual a zero.

$5 = 0$

Etapa 3.3

Como $5 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 4

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Nenhum ponto crítico encontrado

Etapa 5

Encontre onde a derivada é indefinida.

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Etapa 5.1

Defina o denominador em $\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(- x + 3)}^{2} = 0$

Etapa 5.2

Resolva $x$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.2.1.1

Fatore $- 1$ de $- x + 3$ .

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Etapa 5.2.1.1.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

${(- (x) + 3)}^{2} = 0$

Etapa 5.2.1.1.2

Reescreva $3$ como $- 1 (- 3)$ .

${(- (x) - 1 \cdot - 3)}^{2} = 0$

Etapa 5.2.1.1.3

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 3)$ .

${(- (x - 3))}^{2} = 0$

Etapa 5.2.1.2

Aplique a regra do produto a $- (x - 3)$ .

${(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$

Etapa 5.2.2

Divida cada termo em ${(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$ por ${(- 1)}^{2}$ e simplifique.

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Etapa 5.2.2.1

Divida cada termo em ${(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$ por ${(- 1)}^{2}$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Etapa 5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de ${(- 1)}^{2}$ .

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Etapa 5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{{(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Etapa 5.2.2.2.1.2

Divida ${(x - 3)}^{2}$ por $1$ .

${(x - 3)}^{2} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Etapa 5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.3.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

${(x - 3)}^{2} = \frac{0}{1}$

Etapa 5.2.2.3.2

Divida $0$ por $1$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Etapa 5.2.3

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 5.2.4

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 6

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = \frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = \frac{2 + x}{3 - x}$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$ .

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 3)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = \frac{5}{{(- (2) + 3)}^{2}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 7.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (2) = \frac{5}{{(- 2 + 3)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.2

Some $- 2$ e $3$ .

$f' (2) = \frac{5}{1^{2}}$

Etapa 7.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (2) = \frac{5}{1}$

Etapa 7.2.2

Divida $5$ por $1$ .

$f' (2) = 5$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $5$ .

$5$

Etapa 7.3

Em $x = 2$ , a derivada é $5$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, 3)$ .

Acréscimo em $(- \infty, 3)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(3, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f' (4) = \frac{5}{{(- (4) + 3)}^{2}}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 8.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f' (4) = \frac{5}{{(- 4 + 3)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.2

Some $- 4$ e $3$ .

$f' (4) = \frac{5}{{(- 1)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (4) = \frac{5}{1}$

Etapa 8.2.2

Divida $5$ por $1$ .

$f' (4) = 5$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $5$ .

$5$

Etapa 8.3

Em $x = 4$ , a derivada é $5$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(3, \infty)$ .

Acréscimo em $(3, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 9

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, 3), (3, \infty)$

Etapa 10