Cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{x}$

Etapa 1

Escreva $y = \frac{1}{x}$ como uma função.

$f (x) = \frac{1}{x}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Etapa 2.1.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{1}{x^{2}} = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} = 0$

Etapa 3.2

Defina o numerador como igual a zero.

$1 = 0$

Etapa 3.3

Como $1 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 4

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Nenhum ponto crítico encontrado

Etapa 5

Encontre onde a derivada é indefinida.

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Etapa 5.1

Defina o denominador em $\frac{1}{x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} = 0$

Etapa 5.2

Resolva $x$ .

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Etapa 5.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 5.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 5.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 5.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 5.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 6

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = \frac{1}{x}$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f' (- 1) = - \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{1}{1}$

Etapa 7.2.2

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 7.2.2.1

Cancele o fator comum.

$f' (- 1) = - \frac{1}{1}$

Etapa 7.2.2.2

Reescreva a expressão.

$f' (- 1) = - 1 \cdot 1$

Etapa 7.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (- 1) = - 1$

Etapa 7.2.4

A resposta final é $- 1$ .

$- 1$

Etapa 7.3

Em $x = - 1$ , a derivada é $- 1$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, 0)$ .

Decréscimo em $(- \infty, 0)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(0, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = - \frac{1}{{(1)}^{2}}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = - \frac{1}{1}$

Etapa 8.2.2

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 8.2.2.1

Cancele o fator comum.

$f' (1) = - \frac{1}{1}$

Etapa 8.2.2.2

Reescreva a expressão.

$f' (1) = - 1 \cdot 1$

Etapa 8.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (1) = - 1$

Etapa 8.2.4

A resposta final é $- 1$ .

$- 1$

Etapa 8.3

Em $x = 1$ , a derivada é $- 1$ . Por ser negativa, a função diminui em $(0, \infty)$ .

Decréscimo em $(0, \infty)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 9

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Decréscimo em: $(- \infty, 0), (0, \infty)$

Etapa 10