Cálculo Exemplos

$y = {(x - 4)}^{3}$

Etapa 1

Escreva $y = {(x - 4)}^{3}$ como uma função.

$f (x) = {(x - 4)}^{3}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x - 4$ .

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Etapa 2.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 4]$

Etapa 2.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Etapa 2.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 4$ .

$3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Etapa 2.1.2

Diferencie.

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Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Etapa 2.1.2.3

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)$

Etapa 2.1.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1$

Etapa 2.1.2.4.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$f' (x) = 3 {(x - 4)}^{2}$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 {(x - 4)}^{2}$ .

$3 {(x - 4)}^{2}$

Etapa 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 {(x - 4)}^{2} = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 {(x - 4)}^{2} = 0$

Etapa 3.2

Divida cada termo em $3 {(x - 4)}^{2} = 0$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 3.2.1

Divida cada termo em $3 {(x - 4)}^{2} = 0$ por $3$ .

$\frac{3 {(x - 4)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 {(x - 4)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 3.2.2.1.2

Divida ${(x - 4)}^{2}$ por $1$ .

${(x - 4)}^{2} = \frac{0}{3}$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.3.1

Divida $0$ por $3$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Etapa 3.3

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 3.4

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 4

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $4$ .

$4$

Etapa 5

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = 3 {(x - 4)}^{2}$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = {(x - 4)}^{3}$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$ .

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 4)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f' (3) = 3 {((3) - 4)}^{2}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Subtraia $4$ de $3$ .

$f' (3) = 3 {(- 1)}^{2}$

Etapa 6.2.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (3) = 3 \cdot 1$

Etapa 6.2.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$f' (3) = 3$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $3$ .

$3$

Etapa 6.3

Em $x = 3$ , a derivada é $3$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, 4)$ .

Acréscimo em $(- \infty, 4)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(4, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $5$ na expressão.

$f' (5) = 3 {((5) - 4)}^{2}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Subtraia $4$ de $5$ .

$f' (5) = 3 \cdot 1^{2}$

Etapa 7.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (5) = 3 \cdot 1$

Etapa 7.2.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$f' (5) = 3$

Etapa 7.2.4

A resposta final é $3$ .

$3$

Etapa 7.3

Em $x = 5$ , a derivada é $3$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(4, \infty)$ .

Acréscimo em $(4, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, 4), (4, \infty)$

Etapa 9