Cálculo Exemplos

$y = 2 - 2 x - x^{3}$

Etapa 1

Escreva $y = 2 - 2 x - x^{3}$ como uma função.

$f (x) = 2 - 2 x - x^{3}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 - 2 x - x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 2.1.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Etapa 2.1.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 2.1.2.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$0 - 2 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - 2 - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$0 - 2 - (3 x^{2})$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$0 - 2 - 3 x^{2}$

Etapa 2.1.4

Simplifique.

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Etapa 2.1.4.1

Subtraia $2$ de $0$ .

$- 2 - 3 x^{2}$

Etapa 2.1.4.2

Reordene os termos.

$f' (x) = - 3 x^{2} - 2$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 3 x^{2} - 2$ .

$- 3 x^{2} - 2$

Etapa 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 3 x^{2} - 2 = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 3 x^{2} - 2 = 0$

Etapa 3.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$- 3 x^{2} = 2$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $- 3 x^{2} = 2$ por $- 3$ e simplifique.

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Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $- 3 x^{2} = 2$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{2}{- 3}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{2}{- 3}$

Etapa 3.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{2}{- 3}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{2} = - \frac{2}{3}$

Etapa 3.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- \frac{2}{3}}$

Etapa 3.5

Simplifique $\pm \sqrt{- \frac{2}{3}}$ .

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Etapa 3.5.1

Reescreva $- 1$ como $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{2}{3}}$

Etapa 3.5.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{2}{3}}$

Etapa 3.5.3

Reescreva $\sqrt{\frac{2}{3}}$ como $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Etapa 3.5.4

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Etapa 3.5.5

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 3.5.5.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 3.5.5.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 3.5.5.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 3.5.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.5.5.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 3.5.5.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 3.5.5.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.5.5.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.5.5.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.5.5.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.5.5.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.5.5.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 3.5.5.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Etapa 3.5.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.6.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

Etapa 3.5.6.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{6}}{3}$

Etapa 3.5.7

Combine $i$ e $\frac{\sqrt{6}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{6}}{3}$

Etapa 3.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{i \sqrt{6}}{3}$

Etapa 3.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{i \sqrt{6}}{3}$

Etapa 3.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{i \sqrt{6}}{3}, - \frac{i \sqrt{6}}{3}$

Etapa 4

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Nenhum ponto crítico encontrado

Etapa 5

Nenhum ponto torna a derivada $f' (x) = - 3 x^{2} - 2$ igual a $0$ ou indefinida. O intervalo para verificar se $f (x) = 2 - 2 x - x^{3}$ está aumentando ou diminuindo é $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Etapa 6

Substitua qualquer número, como $1$ , no intervalo $(- \infty, \infty)$ na derivada $f' (x) = - 3 x^{2} - 2$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo. Se o resultado for negativo, o gráfico está diminuindo no intervalo $(- \infty, \infty)$ . Se o resultado for positivo, o gráfico está aumentando no intervalo $(- \infty, \infty)$ .

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = - 3 {(1)}^{2} - 2$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = - 3 \cdot 1 - 2$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$f' (1) = - 3 - 2$

Etapa 6.2.2

Subtraia $2$ de $- 3$ .

$f' (1) = - 5$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 5$ .

$- 5$

Etapa 7

O resultado da substituição de $1$ em $f' (x) = - 3 x^{2} - 2$ é $- 5$ , que é negativo, então o gráfico diminui no intervalo $(- \infty, \infty)$ .

Decréscimo em $(- \infty, \infty)$

Etapa 8

Decréscimo sobre o intervalo $(- \infty, \infty)$ significa que a função é sempre decrescente.

Sempre decrescente

Etapa 9