Cálculo Exemplos

$y = 12 x^{2} - 102 x - 180$

Etapa 1

Escreva $y = 12 x^{2} - 102 x - 180$ como uma função.

$f (x) = 12 x^{2} - 102 x - 180$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $12 x^{2} - 102 x - 180$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 102 x] + \frac{d}{d x} [- 180]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 102 x] + \frac{d}{d x} [- 180]$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Etapa 2.1.2.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x^{2}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 102 x] + \frac{d}{d x} [- 180]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 102 x] + \frac{d}{d x} [- 180]$

Etapa 2.1.2.3

Multiplique $2$ por $12$ .

$24 x + \frac{d}{d x} [- 102 x] + \frac{d}{d x} [- 180]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 102 x]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $- 102$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 102 x$ em relação a $x$ é $- 102 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x - 102 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 180]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$24 x - 102 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 180]$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $- 102$ por $1$ .

$24 x - 102 + \frac{d}{d x} [- 180]$

Etapa 2.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.1.4.1

Como $- 180$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 180$ em relação a $x$ é $0$ .

$24 x - 102 + 0$

Etapa 2.1.4.2

Some $24 x - 102$ e $0$ .

$f' (x) = 24 x - 102$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $24 x - 102$ .

$24 x - 102$

Etapa 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $24 x - 102 = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$24 x - 102 = 0$

Etapa 3.2

Some $102$ aos dois lados da equação.

$24 x = 102$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $24 x = 102$ por $24$ e simplifique.

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Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $24 x = 102$ por $24$ .

$\frac{24 x}{24} = \frac{102}{24}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $24$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{24 x}{24} = \frac{102}{24}$

Etapa 3.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{102}{24}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.1

Cancele o fator comum de $102$ e $24$ .

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Etapa 3.3.3.1.1

Fatore $6$ de $102$ .

$x = \frac{6 (17)}{24}$

Etapa 3.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.3.3.1.2.1

Fatore $6$ de $24$ .

$x = \frac{6 \cdot 17}{6 \cdot 4}$

Etapa 3.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{6 \cdot 17}{6 \cdot 4}$

Etapa 3.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{17}{4}$

Etapa 4

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $\frac{17}{4}$ .

$\frac{17}{4}$

Etapa 5

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = 24 x - 102$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = 12 x^{2} - 102 x - 180$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, \frac{17}{4}) \cup (\frac{17}{4}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{17}{4}) \cup (\frac{17}{4}, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, \frac{17}{4})$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{13}{4}$ na expressão.

$f' (\frac{13}{4}) = 24 (\frac{13}{4}) - 102$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.1

Fatore $4$ de $24$ .

$f' (\frac{13}{4}) = 4 (6) (\frac{13}{4}) - 102$

Etapa 6.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$f' (\frac{13}{4}) = 4 \cdot (6 (\frac{13}{4})) - 102$

Etapa 6.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$f' (\frac{13}{4}) = 6 \cdot 13 - 102$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $6$ por $13$ .

$f' (\frac{13}{4}) = 78 - 102$

Etapa 6.2.2

Subtraia $102$ de $78$ .

$f' (\frac{13}{4}) = - 24$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 24$ .

$- 24$

Etapa 6.3

Em $x = \frac{13}{4}$ , a derivada é $- 24$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, \frac{17}{4})$ .

Decréscimo em $(- \infty, \frac{17}{4})$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(\frac{17}{4}, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{21}{4}$ na expressão.

$f' (\frac{21}{4}) = 24 (\frac{21}{4}) - 102$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 7.2.1.1.1

Fatore $4$ de $24$ .

$f' (\frac{21}{4}) = 4 (6) (\frac{21}{4}) - 102$

Etapa 7.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$f' (\frac{21}{4}) = 4 \cdot (6 (\frac{21}{4})) - 102$

Etapa 7.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$f' (\frac{21}{4}) = 6 \cdot 21 - 102$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $6$ por $21$ .

$f' (\frac{21}{4}) = 126 - 102$

Etapa 7.2.2

Subtraia $102$ de $126$ .

$f' (\frac{21}{4}) = 24$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $24$ .

$24$

Etapa 7.3

Em $x = \frac{21}{4}$ , a derivada é $24$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(\frac{17}{4}, \infty)$ .

Acréscimo em $(\frac{17}{4}, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(\frac{17}{4}, \infty)$

Decréscimo em: $(- \infty, \frac{17}{4})$

Etapa 9