Cálculo Exemplos

$y = x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2} - x$

Etapa 1

Escreva $y = x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2} - x$ como uma função.

$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2} - x$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2} - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x)$

Etapa 2.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x)$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

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Etapa 2.1.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x)$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x)$

Etapa 2.1.2.3

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x)$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 9 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x)$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 9 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- x)$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} (- x)$

Etapa 2.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 2.1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - \frac{d}{d x} x$

Etapa 2.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1 \cdot 1$

Etapa 2.1.4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1$

Etapa 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1 = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1 = 0$

Etapa 3.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.2.1

Fatore $4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 3.2.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Etapa 3.2.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5$

Etapa 3.2.1.3

Substitua $1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 3.2.1.3.1

Substitua $1$ no polinômio.

$4 \cdot 1^{3} - 9 \cdot 1^{2} + 6 \cdot 1 - 1$

Etapa 3.2.1.3.2

Eleve $1$ à potência de $3$ .

$4 \cdot 1 - 9 \cdot 1^{2} + 6 \cdot 1 - 1$

Etapa 3.2.1.3.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 - 9 \cdot 1^{2} + 6 \cdot 1 - 1$

Etapa 3.2.1.3.4

Eleve $1$ à potência de $2$ .

$4 - 9 \cdot 1 + 6 \cdot 1 - 1$

Etapa 3.2.1.3.5

Multiplique $- 9$ por $1$ .

$4 - 9 + 6 \cdot 1 - 1$

Etapa 3.2.1.3.6

Subtraia $9$ de $4$ .

$- 5 + 6 \cdot 1 - 1$

Etapa 3.2.1.3.7

Multiplique $6$ por $1$ .

$- 5 + 6 - 1$

Etapa 3.2.1.3.8

Some $- 5$ e $6$ .

$1 - 1$

Etapa 3.2.1.3.9

Subtraia $1$ de $1$ .

$0$

Etapa 3.2.1.4

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1}{x - 1}$

Etapa 3.2.1.5

Divida $4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1$ por $x - 1$ .

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Etapa 3.2.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$4 x^{3}$

$9 x^{2}$

$6 x$

$1$

Etapa 3.2.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $4 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$4 x^{2}$
	$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$

Etapa 3.2.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Etapa 3.2.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $4 x^{3} - 4 x^{2}$ .

				$4 x^{2}$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Etapa 3.2.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$

Etapa 3.2.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$6 x$

Etapa 3.2.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 5 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$4 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$6 x$

Etapa 3.2.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$4 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$

Etapa 3.2.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 5 x^{2} + 5 x$ .

				$4 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$

Etapa 3.2.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$4 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							+	$x$

Etapa 3.2.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$4 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							+	$x$	-	$1$

Etapa 3.2.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$4 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							+	$x$	-	$1$

Etapa 3.2.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$4 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							+	$x$	-	$1$
							+	$x$	-	$1$

Etapa 3.2.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x - 1$ .

				$4 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$

Etapa 3.2.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$4 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$
										$0$

Etapa 3.2.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$4 x^{2} - 5 x + 1$

Etapa 3.2.1.6

Escreva $4 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 1$ como um conjunto de fatores.

$(x - 1) (4 x^{2} - 5 x + 1) = 0$

Etapa 3.2.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.2.2.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.2.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 4 \cdot 1 = 4$ e cuja soma é $b = - 5$ .

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Etapa 3.2.2.1.1.1

Fatore $- 5$ de $- 5 x$ .

$(x - 1) (4 x^{2} - 5 x + 1) = 0$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Reescreva $- 5$ como $- 1$ mais $- 4$

$(x - 1) (4 x^{2} + (- 1 - 4) x + 1) = 0$

Etapa 3.2.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x - 1) (4 x^{2} - 1 x - 4 x + 1) = 0$

Etapa 3.2.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.2.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x - 1) ((4 x^{2} - 1 x) - 4 x + 1) = 0$

Etapa 3.2.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x - 1) (x (4 x - 1) - (4 x - 1)) = 0$

Etapa 3.2.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $4 x - 1$ .

$(x - 1) ((4 x - 1) (x - 1)) = 0$

Etapa 3.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 1) (4 x - 1) (x - 1) = 0$

Etapa 3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$4 x - 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 3.4

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.4.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 3.4.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 3.5

Defina $4 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Defina $4 x - 1$ como igual a $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Etapa 3.5.2

Resolva $4 x - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.5.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$4 x = 1$

Etapa 3.5.2.2

Divida cada termo em $4 x = 1$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 3.5.2.2.1

Divida cada termo em $4 x = 1$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Etapa 3.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Etapa 3.5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Etapa 3.6

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 1) (4 x - 1) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 1, \frac{1}{4}$

Etapa 4

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $1, \frac{1}{4}$ .

$1, \frac{1}{4}$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4}, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, \frac{1}{4})$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.75$ na expressão.

$f' (- 0.75) = 4 {(- 0.75)}^{3} - 9 {(- 0.75)}^{2} + 6 (- 0.75) - 1$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 0.75$ à potência de $3$ .

$f' (- 0.75) = 4 \cdot - 0.421875 - 9 {(- 0.75)}^{2} + 6 (- 0.75) - 1$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 0.421875$ .

$f' (- 0.75) = - 1.6875 - 9 {(- 0.75)}^{2} + 6 (- 0.75) - 1$

Etapa 6.2.1.3

Eleve $- 0.75$ à potência de $2$ .

$f' (- 0.75) = - 1.6875 - 9 \cdot 0.5625 + 6 (- 0.75) - 1$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $- 9$ por $0.5625$ .

$f' (- 0.75) = - 1.6875 - 5.0625 + 6 (- 0.75) - 1$

Etapa 6.2.1.5

Multiplique $6$ por $- 0.75$ .

$f' (- 0.75) = - 1.6875 - 5.0625 - 4.5 - 1$

Etapa 6.2.2

Simplifique subtraindo os números.

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Etapa 6.2.2.1

Subtraia $5.0625$ de $- 1.6875$ .

$f' (- 0.75) = - 6.75 - 4.5 - 1$

Etapa 6.2.2.2

Subtraia $4.5$ de $- 6.75$ .

$f' (- 0.75) = - 11.25 - 1$

Etapa 6.2.2.3

Subtraia $1$ de $- 11.25$ .

$f' (- 0.75) = - 12.25$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 12.25$ .

$- 12.25$

Etapa 6.3

Em $x = - 0.75$ , a derivada é $- 12.25$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, \frac{1}{4})$ .

Decréscimo em $(- \infty, \frac{1}{4})$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(0.25, 1)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0.625$ na expressão.

$f' (0.625) = 4 {(0.625)}^{3} - 9 {(0.625)}^{2} + 6 (0.625) - 1$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Eleve $0.625$ à potência de $3$ .

$f' (0.625) = 4 \cdot 0.24414062 - 9 {(0.625)}^{2} + 6 (0.625) - 1$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $4$ por $0.24414062$ .

$f' (0.625) = 0.9765625 - 9 {(0.625)}^{2} + 6 (0.625) - 1$

Etapa 7.2.1.3

Eleve $0.625$ à potência de $2$ .

$f' (0.625) = 0.9765625 - 9 \cdot 0.390625 + 6 (0.625) - 1$

Etapa 7.2.1.4

Multiplique $- 9$ por $0.390625$ .

$f' (0.625) = 0.9765625 - 3.515625 + 6 (0.625) - 1$

Etapa 7.2.1.5

Multiplique $6$ por $0.625$ .

$f' (0.625) = 0.9765625 - 3.515625 + 3.75 - 1$

Etapa 7.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 7.2.2.1

Subtraia $3.515625$ de $0.9765625$ .

$f' (0.625) = - 2.5390625 + 3.75 - 1$

Etapa 7.2.2.2

Some $- 2.5390625$ e $3.75$ .

$f' (0.625) = 1.2109375 - 1$

Etapa 7.2.2.3

Subtraia $1$ de $1.2109375$ .

$f' (0.625) = 0.2109375$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $0.2109375$ .

$0.2109375$

Etapa 7.3

Em $x = 0.625$ , a derivada é $0.2109375$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(0.25, 1)$ .

Acréscimo em $(\frac{1}{4}, 1)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(1, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = 4 {(2)}^{3} - 9 {(2)}^{2} + 6 (2) - 1$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f' (2) = 4 \cdot 8 - 9 {(2)}^{2} + 6 (2) - 1$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $4$ por $8$ .

$f' (2) = 32 - 9 {(2)}^{2} + 6 (2) - 1$

Etapa 8.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (2) = 32 - 9 \cdot 4 + 6 (2) - 1$

Etapa 8.2.1.4

Multiplique $- 9$ por $4$ .

$f' (2) = 32 - 36 + 6 (2) - 1$

Etapa 8.2.1.5

Multiplique $6$ por $2$ .

$f' (2) = 32 - 36 + 12 - 1$

Etapa 8.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Subtraia $36$ de $32$ .

$f' (2) = - 4 + 12 - 1$

Etapa 8.2.2.2

Some $- 4$ e $12$ .

$f' (2) = 8 - 1$

Etapa 8.2.2.3

Subtraia $1$ de $8$ .

$f' (2) = 7$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $7$ .

$7$

Etapa 8.3

Em $x = 2$ , a derivada é $7$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(1, \infty)$ .

Acréscimo em $(1, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 9

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(\frac{1}{4}, 1), (1, \infty)$

Decréscimo em: $(- \infty, \frac{1}{4})$

Etapa 10