Cálculo Exemplos

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 8$

Etapa 1

Escreva $y = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 8$ como uma função.

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 8$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 2.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Etapa 2.1.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 2.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 6 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} - 6 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$3 x^{2} - 6 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 2.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.1.4.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} - 6 x + 6 + 0$

Etapa 2.1.4.2

Some $3 x^{2} - 6 x + 6$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + 6$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} - 6 x + 6$ .

$3 x^{2} - 6 x + 6$

Etapa 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} - 6 x + 6 = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} - 6 x + 6 = 0$

Etapa 3.2

Fatore $3$ de $3 x^{2} - 6 x + 6$ .

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Etapa 3.2.1

Fatore $3$ de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 6 x + 6 = 0$

Etapa 3.2.2

Fatore $3$ de $- 6 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 2 x) + 6 = 0$

Etapa 3.2.3

Fatore $3$ de $6$ .

$3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 2 = 0$

Etapa 3.2.4

Fatore $3$ de $3 x^{2} + 3 (- 2 x)$ .

$3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot 2 = 0$

Etapa 3.2.5

Fatore $3$ de $3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot 2$ .

$3 (x^{2} - 2 x + 2) = 0$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $3 (x^{2} - 2 x + 2) = 0$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $3 (x^{2} - 2 x + 2) = 0$ por $3$ .

$\frac{3 (x^{2} - 2 x + 2)}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (x^{2} - 2 x + 2)}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 3.3.2.1.2

Divida $x^{2} - 2 x + 2$ por $1$ .

$x^{2} - 2 x + 2 = \frac{0}{3}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.1

Divida $0$ por $3$ .

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

Etapa 3.4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.5

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 2$ e $c = 2$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6

Simplifique.

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Etapa 3.6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.6.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Etapa 3.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.3

Subtraia $8$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.4

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.7

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Etapa 3.6.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Etapa 3.7

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 3.7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.7.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Etapa 3.7.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.3

Subtraia $8$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.4

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.7

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Etapa 3.7.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Etapa 3.7.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = 1 + i$

Etapa 3.8

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 3.8.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.8.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.8.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Etapa 3.8.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.8.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.8.1.3

Subtraia $8$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.8.1.4

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.8.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.8.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.8.1.7

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.8.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.8.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.8.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Etapa 3.8.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Etapa 3.8.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = 1 - i$

Etapa 3.9

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = 1 + i, 1 - i$

Etapa 4

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Nenhum ponto crítico encontrado

Etapa 5

Nenhum ponto torna a derivada $f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + 6$ igual a $0$ ou indefinida. O intervalo para verificar se $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 8$ está aumentando ou diminuindo é $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Etapa 6

Substitua qualquer número, como $1$ , no intervalo $(- \infty, \infty)$ na derivada $f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + 6$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo. Se o resultado for negativo, o gráfico está diminuindo no intervalo $(- \infty, \infty)$ . Se o resultado for positivo, o gráfico está aumentando no intervalo $(- \infty, \infty)$ .

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = 3 {(1)}^{2} - 6 \cdot 1 + 6$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = 3 \cdot 1 - 6 \cdot 1 + 6$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$f' (1) = 3 - 6 \cdot 1 + 6$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$f' (1) = 3 - 6 + 6$

Etapa 6.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 6.2.2.1

Subtraia $6$ de $3$ .

$f' (1) = - 3 + 6$

Etapa 6.2.2.2

Some $- 3$ e $6$ .

$f' (1) = 3$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $3$ .

$3$

Etapa 7

O resultado da substituição de $1$ em $f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + 6$ é $3$ , que é positivo, então o gráfico aumenta no intervalo $(- \infty, \infty)$ .

Acréscimo em $(- \infty, \infty)$ , pois $3 x^{2} - 6 x + 6 > 0$

Etapa 8

Acréscimo sobre o intervalo $(- \infty, \infty)$ significa que a função é sempre crescente.

Sempre crescente

Etapa 9