Cálculo Exemplos

$y = x^{4} + 16 x^{3} + 64 x^{2} + 8$

Etapa 1

Escreva $y = x^{4} + 16 x^{3} + 64 x^{2} + 8$ como uma função.

$f (x) = x^{4} + 16 x^{3} + 64 x^{2} + 8$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + 16 x^{3} + 64 x^{2} + 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 2.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ .

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Etapa 2.1.2.1

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16 x^{3}$ em relação a $x$ é $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} + 16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 x^{3} + 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 2.1.2.3

Multiplique $3$ por $16$ .

$4 x^{3} + 48 x^{2} + \frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [64 x^{2}]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $64$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $64 x^{2}$ em relação a $x$ é $64 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 48 x^{2} + 64 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} + 48 x^{2} + 64 (2 x) + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $2$ por $64$ .

$4 x^{3} + 48 x^{2} + 128 x + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 2.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.1.4.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x^{3} + 48 x^{2} + 128 x + 0$

Etapa 2.1.4.2

Some $4 x^{3} + 48 x^{2} + 128 x$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 48 x^{2} + 128 x$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{3} + 48 x^{2} + 128 x$ .

$4 x^{3} + 48 x^{2} + 128 x$

Etapa 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} + 48 x^{2} + 128 x = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{3} + 48 x^{2} + 128 x = 0$

Etapa 3.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.2.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{3} + 48 x^{2} + 128 x$ .

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Etapa 3.2.1.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) + 48 x^{2} + 128 x = 0$

Etapa 3.2.1.2

Fatore $4 x$ de $48 x^{2}$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (12 x) + 128 x = 0$

Etapa 3.2.1.3

Fatore $4 x$ de $128 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (12 x) + 4 x (32) = 0$

Etapa 3.2.1.4

Fatore $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (12 x)$ .

$4 x (x^{2} + 12 x) + 4 x (32) = 0$

Etapa 3.2.1.5

Fatore $4 x$ de $4 x (x^{2} + 12 x) + 4 x (32)$ .

$4 x (x^{2} + 12 x + 32) = 0$

Etapa 3.2.2

Fatore.

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Etapa 3.2.2.1

Fatore $x^{2} + 12 x + 32$ usando o método AC.

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Etapa 3.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $32$ e cuja soma é $12$ .

$4, 8$

Etapa 3.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$4 x ((x + 4) (x + 8)) = 0$

Etapa 3.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$4 x (x + 4) (x + 8) = 0$

Etapa 3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 4 = 0$

$x + 8 = 0$

Etapa 3.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.5

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.5.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 3.5.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 3.6

Defina $x + 8$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.6.1

Defina $x + 8$ como igual a $0$ .

$x + 8 = 0$

Etapa 3.6.2

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$x = - 8$

Etapa 3.7

A solução final são todos os valores que tornam $4 x (x + 4) (x + 8) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 4, - 8$

Etapa 4

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $0, - 4, - 8$ .

$0, - 4, - 8$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 8) \cup (- 8, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 8)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 9$ na expressão.

$f' (- 9) = 4 {(- 9)}^{3} + 48 {(- 9)}^{2} + 128 (- 9)$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 9$ à potência de $3$ .

$f' (- 9) = 4 \cdot - 729 + 48 {(- 9)}^{2} + 128 (- 9)$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 729$ .

$f' (- 9) = - 2916 + 48 {(- 9)}^{2} + 128 (- 9)$

Etapa 6.2.1.3

Eleve $- 9$ à potência de $2$ .

$f' (- 9) = - 2916 + 48 \cdot 81 + 128 (- 9)$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $48$ por $81$ .

$f' (- 9) = - 2916 + 3888 + 128 (- 9)$

Etapa 6.2.1.5

Multiplique $128$ por $- 9$ .

$f' (- 9) = - 2916 + 3888 - 1152$

Etapa 6.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 6.2.2.1

Some $- 2916$ e $3888$ .

$f' (- 9) = 972 - 1152$

Etapa 6.2.2.2

Subtraia $1152$ de $972$ .

$f' (- 9) = - 180$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 180$ .

$- 180$

Etapa 6.3

Em $x = - 9$ , a derivada é $- 180$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, - 8)$ .

Decréscimo em $(- \infty, - 8)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 8, - 4)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 6$ na expressão.

$f' (- 6) = 4 {(- 6)}^{3} + 48 {(- 6)}^{2} + 128 (- 6)$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $3$ .

$f' (- 6) = 4 \cdot - 216 + 48 {(- 6)}^{2} + 128 (- 6)$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 216$ .

$f' (- 6) = - 864 + 48 {(- 6)}^{2} + 128 (- 6)$

Etapa 7.2.1.3

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$f' (- 6) = - 864 + 48 \cdot 36 + 128 (- 6)$

Etapa 7.2.1.4

Multiplique $48$ por $36$ .

$f' (- 6) = - 864 + 1728 + 128 (- 6)$

Etapa 7.2.1.5

Multiplique $128$ por $- 6$ .

$f' (- 6) = - 864 + 1728 - 768$

Etapa 7.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 7.2.2.1

Some $- 864$ e $1728$ .

$f' (- 6) = 864 - 768$

Etapa 7.2.2.2

Subtraia $768$ de $864$ .

$f' (- 6) = 96$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $96$ .

$96$

Etapa 7.3

Em $x = - 6$ , a derivada é $96$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- 8, - 4)$ .

Acréscimo em $(- 8, - 4)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(- 4, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = 4 {(- 2)}^{3} + 48 {(- 2)}^{2} + 128 (- 2)$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f' (- 2) = 4 \cdot - 8 + 48 {(- 2)}^{2} + 128 (- 2)$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 8$ .

$f' (- 2) = - 32 + 48 {(- 2)}^{2} + 128 (- 2)$

Etapa 8.2.1.3

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f' (- 2) = - 32 + 48 \cdot 4 + 128 (- 2)$

Etapa 8.2.1.4

Multiplique $48$ por $4$ .

$f' (- 2) = - 32 + 192 + 128 (- 2)$

Etapa 8.2.1.5

Multiplique $128$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = - 32 + 192 - 256$

Etapa 8.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 8.2.2.1

Some $- 32$ e $192$ .

$f' (- 2) = 160 - 256$

Etapa 8.2.2.2

Subtraia $256$ de $160$ .

$f' (- 2) = - 96$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $- 96$ .

$- 96$

Etapa 8.3

Em $x = - 2$ , a derivada é $- 96$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- 4, 0)$ .

Decréscimo em $(- 4, 0)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 9

Substitua um valor do intervalo $(0, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 9.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = 4 {(1)}^{3} + 48 {(1)}^{2} + 128 (1)$

Etapa 9.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = 4 \cdot 1 + 48 {(1)}^{2} + 128 (1)$

Etapa 9.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$f' (1) = 4 + 48 {(1)}^{2} + 128 (1)$

Etapa 9.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = 4 + 48 \cdot 1 + 128 (1)$

Etapa 9.2.1.4

Multiplique $48$ por $1$ .

$f' (1) = 4 + 48 + 128 (1)$

Etapa 9.2.1.5

Multiplique $128$ por $1$ .

$f' (1) = 4 + 48 + 128$

Etapa 9.2.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 9.2.2.1

Some $4$ e $48$ .

$f' (1) = 52 + 128$

Etapa 9.2.2.2

Some $52$ e $128$ .

$f' (1) = 180$

Etapa 9.2.3

A resposta final é $180$ .

$180$

Etapa 9.3

Em $x = 1$ , a derivada é $180$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(0, \infty)$ .

Acréscimo em $(0, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 10

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- 8, - 4), (0, \infty)$

Decréscimo em: $(- \infty, - 8), (- 4, 0)$

Etapa 11