Cálculo Exemplos

$y = x - 4 \ln (3 x - 9)$

Etapa 1

Escreva $y = x - 4 \ln (3 x - 9)$ como uma função.

$f (x) = x - 4 \ln (3 x - 9)$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4 \ln (3 x - 9)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$

Etapa 2.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 \ln (3 x - 9)$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$ .

$1 - 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 3 x - 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x - 9$ .

$1 - 4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Etapa 2.1.2.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$1 - 4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Etapa 2.1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x - 9$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Etapa 2.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Etapa 2.1.2.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Etapa 2.1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Etapa 2.1.2.6

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + 0))$

Etapa 2.1.2.7

Multiplique $3$ por $1$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 + 0))$

Etapa 2.1.2.8

Some $3$ e $0$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} \cdot 3)$

Etapa 2.1.2.9

Combine $\frac{1}{3 x - 9}$ e $3$ .

$1 - 4 \frac{3}{3 x - 9}$

Etapa 2.1.2.10

Cancele o fator comum de $3$ e $3 x - 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.10.1

Fatore $3$ de $3$ .

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 x - 9}$

Etapa 2.1.2.10.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.10.2.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) - 9}$

Etapa 2.1.2.10.2.2

Fatore $3$ de $- 9$ .

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) + 3 (- 3)}$

Etapa 2.1.2.10.2.3

Fatore $3$ de $3 (x) + 3 (- 3)$ .

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

Etapa 2.1.2.10.2.4

Cancele o fator comum.

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

Etapa 2.1.2.10.2.5

Reescreva a expressão.

$1 - 4 \frac{1}{x - 3}$

Etapa 2.1.2.11

Combine $- 4$ e $\frac{1}{x - 3}$ .

$1 + \frac{- 4}{x - 3}$

Etapa 2.1.2.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$1 - \frac{4}{x - 3}$

Etapa 2.1.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{x - 3}{x - 3} - \frac{4}{x - 3}$

Etapa 2.1.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x - 3 - 4}{x - 3}$

Etapa 2.1.3.3

Subtraia $4$ de $- 3$ .

$f' (x) = \frac{x - 7}{x - 3}$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{x - 7}{x - 3}$ .

$\frac{x - 7}{x - 3}$

Etapa 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{x - 7}{x - 3} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{x - 7}{x - 3} = 0$

Etapa 3.2

Defina o numerador como igual a zero.

$x - 7 = 0$

Etapa 3.3

Some $7$ aos dois lados da equação.

$x = 7$

Etapa 4

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $7$ .

$7$

Etapa 5

Encontre onde a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina o denominador em $\frac{x - 7}{x - 3}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x - 3 = 0$

Etapa 5.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 6

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 3) \cup (3, 7) \cup (7, \infty)$

Etapa 7

Exclua os intervalos que não estão no domínio.

$(3, 7)$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(3, 7)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $5$ na expressão.

$f' (5) = \frac{(5) - 7}{(5) - 3}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Subtraia $7$ de $5$ .

$f' (5) = \frac{- 2}{5 - 3}$

Etapa 8.2.2

Subtraia $3$ de $5$ .

$f' (5) = \frac{- 2}{2}$

Etapa 8.2.3

Divida $- 2$ por $2$ .

$f' (5) = - 1$

Etapa 8.2.4

A resposta final é $- 1$ .

$- 1$

Etapa 8.3

Em $x = 5$ , a derivada é $- 1$ . Por ser negativa, a função diminui em $(3, 7)$ .

Decréscimo em $(3, 7)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 9

Exclua os intervalos que não estão no domínio.

$(3, 7), (7, \infty)$

Etapa 10

Substitua um valor do intervalo $(7, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Substitua a variável $x$ por $8$ na expressão.

$f' (8) = \frac{(8) - 7}{(8) - 3}$

Etapa 10.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Subtraia $7$ de $8$ .

$f' (8) = \frac{1}{8 - 3}$

Etapa 10.2.2

Subtraia $3$ de $8$ .

$f' (8) = \frac{1}{5}$

Etapa 10.2.3

A resposta final é $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5}$

Etapa 10.3

Em $x = 8$ , a derivada é $\frac{1}{5}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(7, \infty)$ .

Acréscimo em $(7, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 11

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(7, \infty)$

Decréscimo em: $(3, 7)$

Etapa 12