Cálculo Exemplos

$e^{- x^{2}}$

Etapa 1

Escreva $e^{- x^{2}}$ como uma função.

$f (x) = e^{- x^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.1.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Etapa 2.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Etapa 2.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Reordene os fatores de $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Etapa 2.1.3.2

Reordene os fatores em $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$f' (x) = - 2 x e^{- x^{2}}$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x e^{- x^{2}}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x e^{- x^{2}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x e^{- x^{2}}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$- 2 (x \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}] + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x^{2}$ .

$- 2 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- 2 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x^{2}$ .

$- 2 (x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.2.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 (x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 2 (x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.2.4.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 (x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.2.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 2 (x^{1} x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.2.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 2 (x^{1} x^{1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 2 (x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.2.8

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.1

Some $1$ e $1$ .

$- 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.2.8.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $e^{- x^{2}}$ .

$- 2 (x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Etapa 2.2.10

Multiplique $e^{- x^{2}}$ por $1$ .

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}})$

Etapa 2.2.11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}})) - 2 e^{- x^{2}}$

Etapa 2.2.11.2

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$

Etapa 2.2.11.3

Reordene os termos.

$4 e^{- x^{2}} x^{2} - 2 e^{- x^{2}}$

Etapa 2.2.11.4

Reordene os fatores em $4 e^{- x^{2}} x^{2} - 2 e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = 4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$ .

$4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}} = 0$

Etapa 3.2

Fatore $2 e^{- x^{2}}$ de $4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Fatore $2 e^{- x^{2}}$ de $4 x^{2} e^{- x^{2}}$ .

$2 e^{- x^{2}} (2 x^{2}) - 2 e^{- x^{2}} = 0$

Etapa 3.2.2

Fatore $2 e^{- x^{2}}$ de $- 2 e^{- x^{2}}$ .

$2 e^{- x^{2}} (2 x^{2}) + 2 e^{- x^{2}} (- 1) = 0$

Etapa 3.2.3

Fatore $2 e^{- x^{2}}$ de $2 e^{- x^{2}} (2 x^{2}) + 2 e^{- x^{2}} (- 1)$ .

$2 e^{- x^{2}} (2 x^{2} - 1) = 0$

Etapa 3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$e^{- x^{2}} = 0$

$2 x^{2} - 1 = 0$

Etapa 3.4

Defina $e^{- x^{2}}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Defina $e^{- x^{2}}$ como igual a $0$ .

$e^{- x^{2}} = 0$

Etapa 3.4.2

Resolva $e^{- x^{2}} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{- x^{2}}) = \ln (0)$

Etapa 3.4.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 3.4.2.3

Não há uma solução para $e^{- x^{2}} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 3.5

Defina $2 x^{2} - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Defina $2 x^{2} - 1$ como igual a $0$ .

$2 x^{2} - 1 = 0$

Etapa 3.5.2

Resolva $2 x^{2} - 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 x^{2} = 1$

Etapa 3.5.2.2

Divida cada termo em $2 x^{2} = 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.1

Divida cada termo em $2 x^{2} = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 3.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 3.5.2.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 3.5.2.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Etapa 3.5.2.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.4.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Etapa 3.5.2.4.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Etapa 3.5.2.4.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 3.5.2.4.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.4.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 3.5.2.4.4.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 3.5.2.4.4.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 3.5.2.4.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.5.2.4.4.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 3.5.2.4.4.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.4.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.5.2.4.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.5.2.4.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.5.2.4.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.4.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.5.2.4.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 3.5.2.4.4.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.5.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.5.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.5.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.6

A solução final são todos os valores que tornam $2 e^{- x^{2}} (2 x^{2} - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $\frac{\sqrt{2}}{2}$ em $f (x) = e^{- x^{2}}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ na expressão.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 4.1.2.2

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 4.1.2.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Etapa 4.1.2.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 4.1.2.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 4.1.2.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

Etapa 4.1.2.2.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2}{2^{2}}}$

Etapa 4.1.2.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2}{4}}$

Etapa 4.1.2.4

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.4.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 (1)}{4}}$

Etapa 4.1.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Etapa 4.1.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Etapa 4.1.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 4.1.2.5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.2.6

A resposta final é $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $\frac{\sqrt{2}}{2}$ em $f (x) = e^{- x^{2}}$ é $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 4.3

Substitua $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ em $f (x) = e^{- x^{2}}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ na expressão.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})}$

Etapa 4.3.2.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))}$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Mova ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{{(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Etapa 4.3.2.2.2

Multiplique ${(- 1)}^{2}$ por $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{{(- 1)}^{2} \cdot ({(- 1)}^{1} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))}$

Etapa 4.3.2.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{{(- 1)}^{2 + 1} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Etapa 4.3.2.2.3

Some $2$ e $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{{(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Etapa 4.3.2.3

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 4.3.2.4

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 4.3.2.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Etapa 4.3.2.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 4.3.2.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 4.3.2.4.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

Etapa 4.3.2.4.5

Avalie o expoente.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2}{2^{2}}}$

Etapa 4.3.2.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2}{4}}$

Etapa 4.3.2.6

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.6.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 (1)}{4}}$

Etapa 4.3.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.6.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Etapa 4.3.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Etapa 4.3.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 4.3.2.7

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.3.2.8

A resposta final é $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.4

O ponto encontrado ao substituir $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ em $f (x) = e^{- x^{2}}$ é $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 4.5

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.80710678$ na expressão.

$f'' (- 0.80710678) = 4 {(- 0.80710678)}^{2} e^{- {(- 0.80710678)}^{2}} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 0.80710678$ à potência de $2$ .

$f'' (- 0.80710678) = 4 \cdot (0.65142135 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}) - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $4$ por $0.65142135$ .

$f'' (- 0.80710678) = 2.60568542 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.3

Eleve $- 0.80710678$ à potência de $2$ .

$f'' (- 0.80710678) = 2.60568542 e^{- 1 \cdot 0.65142135} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $0.65142135$ .

$f'' (- 0.80710678) = 2.60568542 e^{- 0.65142135} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.80710678) = 2.60568542 (\frac{1}{e^{0.65142135}}) - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.6

Combine $2.60568542$ e $\frac{1}{e^{0.65142135}}$ .

$f'' (- 0.80710678) = \frac{2.60568542}{e^{0.65142135}} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.7

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f'' (- 0.80710678) = \frac{2.60568542}{{2.71828182}^{0.65142135}} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.8

Eleve $2.71828182$ à potência de $0.65142135$ .

$f'' (- 0.80710678) = \frac{2.60568542}{1.91826543} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.9

Divida $2.60568542$ por $1.91826543$ .

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.10

Eleve $- 0.80710678$ à potência de $2$ .

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- 1 \cdot 0.65142135}$

Etapa 6.2.1.11

Multiplique $- 1$ por $0.65142135$ .

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- 0.65142135}$

Etapa 6.2.1.12

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 - 2 \frac{1}{e^{0.65142135}}$

Etapa 6.2.1.13

Combine $- 2$ e $\frac{1}{e^{0.65142135}}$ .

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 + \frac{- 2}{e^{0.65142135}}$

Etapa 6.2.1.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 - \frac{2}{e^{0.65142135}}$

Etapa 6.2.2

Subtraia $\frac{2}{e^{0.65142135}}$ de $1.35835499$ .

$f'' (- 0.80710678) = 0.31574641$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $0.31574641$ .

$0.31574641$

Etapa 6.3

Em $- 0.80710678$ , a segunda derivada é $0.31574641$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Acréscimo em $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = 4 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = 4 \cdot (0 e^{- {(0)}^{2}}) - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $4$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{- {(0)}^{2}} - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{- 0} - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{0} - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.5

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 1 - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.6

Multiplique $0$ por $1$ .

$f'' (0) = 0 - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.7

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = 0 - 2 e^{- 0}$

Etapa 7.2.1.8

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 - 2 e^{0}$

Etapa 7.2.1.9

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$f'' (0) = 0 - 2 \cdot 1$

Etapa 7.2.1.10

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f'' (0) = 0 - 2$

Etapa 7.2.2

Subtraia $2$ de $0$ .

$f'' (0) = - 2$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 2$ .

$- 2$

Etapa 7.3

Em $0$ , a segunda derivada é $- 2$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Decréscimo em $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $0.80710678$ na expressão.

$f'' (0.80710678) = 4 {(0.80710678)}^{2} e^{- {(0.80710678)}^{2}} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Eleve $0.80710678$ à potência de $2$ .

$f'' (0.80710678) = 4 \cdot (0.65142135 e^{- {(0.80710678)}^{2}}) - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $4$ por $0.65142135$ .

$f'' (0.80710678) = 2.60568542 e^{- {(0.80710678)}^{2}} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.3

Eleve $0.80710678$ à potência de $2$ .

$f'' (0.80710678) = 2.60568542 e^{- 1 \cdot 0.65142135} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $0.65142135$ .

$f'' (0.80710678) = 2.60568542 e^{- 0.65142135} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (0.80710678) = 2.60568542 (\frac{1}{e^{0.65142135}}) - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.6

Combine $2.60568542$ e $\frac{1}{e^{0.65142135}}$ .

$f'' (0.80710678) = \frac{2.60568542}{e^{0.65142135}} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.7

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f'' (0.80710678) = \frac{2.60568542}{{2.71828182}^{0.65142135}} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.8

Eleve $2.71828182$ à potência de $0.65142135$ .

$f'' (0.80710678) = \frac{2.60568542}{1.91826543} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.9

Divida $2.60568542$ por $1.91826543$ .

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.10

Eleve $0.80710678$ à potência de $2$ .

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- 1 \cdot 0.65142135}$

Etapa 8.2.1.11

Multiplique $- 1$ por $0.65142135$ .

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- 0.65142135}$

Etapa 8.2.1.12

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 - 2 \frac{1}{e^{0.65142135}}$

Etapa 8.2.1.13

Combine $- 2$ e $\frac{1}{e^{0.65142135}}$ .

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 + \frac{- 2}{e^{0.65142135}}$

Etapa 8.2.1.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 - \frac{2}{e^{0.65142135}}$

Etapa 8.2.2

Subtraia $\frac{2}{e^{0.65142135}}$ de $1.35835499$ .

$f'' (0.80710678) = 0.31574641$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $0.31574641$ .

$0.31574641$

Etapa 8.3

Em $0.80710678$ , a segunda derivada é $0.31574641$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ .

Acréscimo em $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 9

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, os pontos de inflexão são $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ .

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 10