Cálculo Exemplos

$y = \frac{x + 1}{x - 1}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x + 1}{x - 1})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x + 1$ e $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.4.2

Multiplique $x - 1$ por $1$ .

$\frac{x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x - 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.7

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x - 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.8.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{x - 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.8.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x - 1 - x - 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.2.1

Combine os termos opostos em $x - 1 - x - 1 \cdot 1$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{0 - 1 - 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.2.1.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$\frac{- 1 - 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 1 - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.2.3

Subtraia $1$ de $- 1$ .

$\frac{- 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = - \frac{2}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2}{{(x - 1)}^{2}}$