Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 15$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 15$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 6 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} - 6 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$3 x^{2} - 6 x + 2 + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $15$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} - 6 x + 2 + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $3 x^{2} - 6 x + 2$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + 2$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 6 x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 1.2.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Etapa 1.2.3.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.3.3

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$6 x - 6 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.2.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 x - 6 + 0$

Etapa 1.2.4.2

Some $6 x - 6$ e $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 6$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $6 x - 6$ .

$6 x - 6$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $6 x - 6 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$6 x - 6 = 0$

Etapa 2.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$6 x = 6$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $6 x = 6$ por $6$ e simplifique.

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Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $6 x = 6$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{6}{6}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 x}{6} = \frac{6}{6}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{6}{6}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.3.1

Divida $6$ por $6$ .

$x = 1$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

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Etapa 3.1

Substitua $1$ em $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 15$ para encontrar o valor de $y$ .

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Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = {(1)}^{3} - 3 {(1)}^{2} + 2 (1) + 15$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = 1 - 3 {(1)}^{2} + 2 (1) + 15$

Etapa 3.1.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = 1 - 3 \cdot 1 + 2 (1) + 15$

Etapa 3.1.2.1.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$f (1) = 1 - 3 + 2 (1) + 15$

Etapa 3.1.2.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$f (1) = 1 - 3 + 2 + 15$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 3.1.2.2.1

Subtraia $3$ de $1$ .

$f (1) = - 2 + 2 + 15$

Etapa 3.1.2.2.2

Some $- 2$ e $2$ .

$f (1) = 0 + 15$

Etapa 3.1.2.2.3

Some $0$ e $15$ .

$f (1) = 15$

Etapa 3.1.2.3

A resposta final é $15$ .

$15$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $1$ em $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 15$ é $(1, 15)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(1, 15)$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 1)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $0.9$ na expressão.

$f'' (0.9) = 6 (0.9) - 6$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $6$ por $0.9$ .

$f'' (0.9) = 5.4 - 6$

Etapa 5.2.2

Subtraia $6$ de $5.4$ .

$f'' (0.9) = - 0.6$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 0.6$ .

$- 0.6$

Etapa 5.3

Em $0.9$ , a segunda derivada é $- 0.6$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, 1)$ .

Decréscimo em $(- \infty, 1)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(1, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $1.1$ na expressão.

$f'' (1.1) = 6 (1.1) - 6$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $6$ por $1.1$ .

$f'' (1.1) = 6.6 - 6$

Etapa 6.2.2

Subtraia $6$ de $6.6$ .

$f'' (1.1) = 0.6$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $0.6$ .

$0.6$

Etapa 6.3

Em $1.1$ , a segunda derivada é $0.6$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(1, \infty)$ .

Acréscimo em $(1, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 7

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, o ponto de inflexão é $(1, 15)$ .

$(1, 15)$

Etapa 8