Cálculo Exemplos

$f (x) = - x^{4} + 6 x^{2} - 4$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{4} + 6 x^{2} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{4}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{2}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 4 x^{3} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $6$ .

$- 4 x^{3} + 12 x + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 4 x^{3} + 12 x + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $- 4 x^{3} + 12 x$ e $0$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 12 x$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 4 x^{3} + 12 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Etapa 1.2.2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [12 x]$

Etapa 1.2.2.3

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$- 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x]$

Etapa 1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Etapa 1.2.3.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 12 x^{2} + 12 \cdot 1$

Etapa 1.2.3.3

Multiplique $12$ por $1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 12$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 12 x^{2} + 12$ .

$- 12 x^{2} + 12$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 12 x^{2} + 12 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- 12 x^{2} + 12 = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $12$ dos dois lados da equação.

$- 12 x^{2} = - 12$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $- 12 x^{2} = - 12$ por $- 12$ e simplifique.

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Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $- 12 x^{2} = - 12$ por $- 12$ .

$\frac{- 12 x^{2}}{- 12} = \frac{- 12}{- 12}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 12 x^{2}}{- 12} = \frac{- 12}{- 12}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 12}{- 12}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.3.1

Divida $- 12$ por $- 12$ .

$x^{2} = 1$

Etapa 2.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Etapa 2.5

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

Etapa 2.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 2.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 2.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

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Etapa 3.1

Substitua $1$ em $f (x) = - x^{4} + 6 x^{2} - 4$ para encontrar o valor de $y$ .

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Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = - {(1)}^{4} + 6 {(1)}^{2} - 4$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = - 1 \cdot 1 + 6 {(1)}^{2} - 4$

Etapa 3.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (1) = - 1 + 6 {(1)}^{2} - 4$

Etapa 3.1.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = - 1 + 6 \cdot 1 - 4$

Etapa 3.1.2.1.4

Multiplique $6$ por $1$ .

$f (1) = - 1 + 6 - 4$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 3.1.2.2.1

Some $- 1$ e $6$ .

$f (1) = 5 - 4$

Etapa 3.1.2.2.2

Subtraia $4$ de $5$ .

$f (1) = 1$

Etapa 3.1.2.3

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $1$ em $f (x) = - x^{4} + 6 x^{2} - 4$ é $(1, 1)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(1, 1)$

Etapa 3.3

Substitua $- 1$ em $f (x) = - x^{4} + 6 x^{2} - 4$ para encontrar o valor de $y$ .

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Etapa 3.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = - {(- 1)}^{4} + 6 {(- 1)}^{2} - 4$

Etapa 3.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.2.1.1

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{4}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.2.1.1.1

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{4}$ .

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Etapa 3.3.2.1.1.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$f (- 1) = (- 1) {(- 1)}^{4} + 6 {(- 1)}^{2} - 4$

Etapa 3.3.2.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- 1) = {(- 1)}^{1 + 4} + 6 {(- 1)}^{2} - 4$

Etapa 3.3.2.1.1.2

Some $1$ e $4$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{5} + 6 {(- 1)}^{2} - 4$

Etapa 3.3.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $5$ .

$f (- 1) = - 1 + 6 {(- 1)}^{2} - 4$

Etapa 3.3.2.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- 1) = - 1 + 6 \cdot 1 - 4$

Etapa 3.3.2.1.4

Multiplique $6$ por $1$ .

$f (- 1) = - 1 + 6 - 4$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Some $- 1$ e $6$ .

$f (- 1) = 5 - 4$

Etapa 3.3.2.2.2

Subtraia $4$ de $5$ .

$f (- 1) = 1$

Etapa 3.3.2.3

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 3.4

O ponto encontrado ao substituir $- 1$ em $f (x) = - x^{4} + 6 x^{2} - 4$ é $(- 1, 1)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- 1, 1)$

Etapa 3.5

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(1, 1), (- 1, 1)$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 1)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.1$ na expressão.

$f'' (- 1.1) = - 12 {(- 1.1)}^{2} + 12$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 1.1$ à potência de $2$ .

$f'' (- 1.1) = - 12 \cdot 1.21 + 12$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $- 12$ por $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = - 14.52 + 12$

Etapa 5.2.2

Some $- 14.52$ e $12$ .

$f'' (- 1.1) = - 2.52$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 2.52$ .

$- 2.52$

Etapa 5.3

Em $- 1.1$ , a segunda derivada é $- 2.52$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, - 1)$ .

Decréscimo em $(- \infty, - 1)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- 1, 1)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = - 12 {(0)}^{2} + 12$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = - 12 \cdot 0 + 12$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 12$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + 12$

Etapa 6.2.2

Some $0$ e $12$ .

$f'' (0) = 12$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $12$ .

$12$

Etapa 6.3

Em $0$ , a segunda derivada é $12$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- 1, 1)$ .

Acréscimo em $(- 1, 1)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(1, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $1.1$ na expressão.

$f'' (1.1) = - 12 {(1.1)}^{2} + 12$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Eleve $1.1$ à potência de $2$ .

$f'' (1.1) = - 12 \cdot 1.21 + 12$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $- 12$ por $1.21$ .

$f'' (1.1) = - 14.52 + 12$

Etapa 7.2.2

Some $- 14.52$ e $12$ .

$f'' (1.1) = - 2.52$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 2.52$ .

$- 2.52$

Etapa 7.3

Em $1.1$ , a segunda derivada é $- 2.52$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(1, \infty)$ .

Decréscimo em $(1, \infty)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 8

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, os pontos de inflexão são $(- 1, 1), (1, 1)$ .

$(- 1, 1), (1, 1)$

Etapa 9