Cálculo Exemplos

$f (x) = - x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + 27$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + 27$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$- 3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Etapa 1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

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Etapa 1.1.4.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x^{2} - 6 x + 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [27]$

Etapa 1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 3 x^{2} - 6 x + 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [27]$

Etapa 1.1.4.3

Multiplique $9$ por $1$ .

$- 3 x^{2} - 6 x + 9 + \frac{d}{d x} [27]$

Etapa 1.1.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.5.1

Como $27$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $27$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 3 x^{2} - 6 x + 9 + 0$

Etapa 1.1.5.2

Some $- 3 x^{2} - 6 x + 9$ e $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} - 6 x + 9$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 3 x^{2} - 6 x + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Etapa 1.2.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.2.2.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$- 6 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Etapa 1.2.3.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 6 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.2.3.3

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$- 6 x - 6 + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.2.4.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 6 x - 6 + 0$

Etapa 1.2.4.2

Some $- 6 x - 6$ e $0$ .

$f'' (x) = - 6 x - 6$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 6 x - 6$ .

$- 6 x - 6$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 6 x - 6 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- 6 x - 6 = 0$

Etapa 2.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$- 6 x = 6$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $- 6 x = 6$ por $- 6$ e simplifique.

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Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $- 6 x = 6$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{6}{- 6}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 6$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{6}{- 6}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{6}{- 6}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.3.1

Divida $6$ por $- 6$ .

$x = - 1$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

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Etapa 3.1

Substitua $- 1$ em $f (x) = - x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + 27$ para encontrar o valor de $y$ .

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Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = - {(- 1)}^{3} - 3 {(- 1)}^{2} + 9 (- 1) + 27$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.2.1.1

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1.2.1.1.1

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{3}$ .

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Etapa 3.1.2.1.1.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$f (- 1) = (- 1) {(- 1)}^{3} - 3 {(- 1)}^{2} + 9 (- 1) + 27$

Etapa 3.1.2.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- 1) = {(- 1)}^{1 + 3} - 3 {(- 1)}^{2} + 9 (- 1) + 27$

Etapa 3.1.2.1.1.2

Some $1$ e $3$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} - 3 {(- 1)}^{2} + 9 (- 1) + 27$

Etapa 3.1.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$f (- 1) = 1 - 3 {(- 1)}^{2} + 9 (- 1) + 27$

Etapa 3.1.2.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- 1) = 1 - 3 \cdot 1 + 9 (- 1) + 27$

Etapa 3.1.2.1.4

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$f (- 1) = 1 - 3 + 9 (- 1) + 27$

Etapa 3.1.2.1.5

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$f (- 1) = 1 - 3 - 9 + 27$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 3.1.2.2.1

Subtraia $3$ de $1$ .

$f (- 1) = - 2 - 9 + 27$

Etapa 3.1.2.2.2

Subtraia $9$ de $- 2$ .

$f (- 1) = - 11 + 27$

Etapa 3.1.2.2.3

Some $- 11$ e $27$ .

$f (- 1) = 16$

Etapa 3.1.2.3

A resposta final é $16$ .

$16$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $- 1$ em $f (x) = - x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + 27$ é $(- 1, 16)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- 1, 16)$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 1)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.1$ na expressão.

$f'' (- 1.1) = - 6 \cdot - 1.1 - 6$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $- 6$ por $- 1.1$ .

$f'' (- 1.1) = 6.6 - 6$

Etapa 5.2.2

Subtraia $6$ de $6.6$ .

$f'' (- 1.1) = 0.6$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $0.6$ .

$0.6$

Etapa 5.3

Em $- 1.1$ , a segunda derivada é $0.6$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, - 1)$ .

Acréscimo em $(- \infty, - 1)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- 1, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.9$ na expressão.

$f'' (- 0.9) = - 6 \cdot - 0.9 - 6$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $- 6$ por $- 0.9$ .

$f'' (- 0.9) = 5.4 - 6$

Etapa 6.2.2

Subtraia $6$ de $5.4$ .

$f'' (- 0.9) = - 0.6$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 0.6$ .

$- 0.6$

Etapa 6.3

Em $- 0.9$ , a segunda derivada é $- 0.6$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- 1, \infty)$ .

Decréscimo em $(- 1, \infty)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, o ponto de inflexão é $(- 1, 16)$ .

$(- 1, 16)$

Etapa 8