Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{8 x}{x^{2} + 4}$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{8 x}{x^{2} + 4}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 4}]$ .

$f' (x) = 8 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} + 4})$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 4$ .

$f' (x) = 8 (\frac{(x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 8 (\frac{(x^{2} + 4) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

Etapa 1.1.3.2

Multiplique $x^{2} + 4$ por $1$ .

$f' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

Etapa 1.1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

Etapa 1.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - x (2 x + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

Etapa 1.1.3.5

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

Etapa 1.1.3.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - x (2 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

Etapa 1.1.3.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

Etapa 1.1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

Etapa 1.1.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

Etapa 1.1.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

Etapa 1.1.7

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

Etapa 1.1.8

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = 8 (\frac{- x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

Etapa 1.1.9

Combine $8$ e $\frac{- x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{8 (- x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.10

Simplifique.

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Etapa 1.1.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{8 (- x^{2}) + 8 \cdot 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.10.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.10.2.1

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$f' (x) = \frac{- 8 x^{2} + 8 \cdot 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.10.2.2

Multiplique $8$ por $4$ .

$f' (x) = \frac{- 8 x^{2} + 32}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (- 8 x^{2} + 32) - (- 8 x^{2} + 32) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{({(x^{2} + 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.2.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.2.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 4)}^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (- 8 x^{2} + 32) - (- 8 x^{2} + 32) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 1.2.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (- 8 x^{2} + 32) - (- 8 x^{2} + 32) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 8 x^{2} + 32$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)) - (- 8 x^{2} + 32) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.2.3

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 8 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (32)) - (- 8 x^{2} + 32) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 8 (2 x) + \frac{d}{d x} (32)) - (- 8 x^{2} + 32) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.2.5

Multiplique $2$ por $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 16 x + \frac{d}{d x} (32)) - (- 8 x^{2} + 32) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.2.6

Como $32$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $32$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 16 x + 0) - (- 8 x^{2} + 32) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.2.7

Some $- 16 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 16 x) - (- 8 x^{2} + 32) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 4$ .

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Etapa 1.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 16 x) - (- 8 x^{2} + 32) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 16 x) - (- 8 x^{2} + 32) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 16 x) - (- 8 x^{2} + 32) (2 (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 16 x) - 2 (- 8 x^{2} + 32) ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 16 x) - 2 (- 8 x^{2} + 32) ((x^{2} + 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)))}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 16 x) - 2 (- 8 x^{2} + 32) ((x^{2} + 4) (2 x + \frac{d}{d x} (4)))}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.4.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 16 x) - 2 (- 8 x^{2} + 32) ((x^{2} + 4) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.4.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.4.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 16 x) - 2 (- 8 x^{2} + 32) ((x^{2} + 4) (2 x))}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.4.5.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 16 x) - 2 (- 8 x^{2} + 32) (2 \cdot ((x^{2} + 4) x))}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.4.5.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 16 x) - 4 (- 8 x^{2} + 32) ((x^{2} + 4) x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 16 x) + (- 4 (- 8 x^{2}) - 4 \cdot 32) ((x^{2} + 4) x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 16 x) + (- 4 (- 8 x^{2}) - 4 \cdot 32) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.5.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{- 16 {(x^{2} + 4)}^{2} x + (- 4 (- 8 x^{2}) - 4 \cdot 32) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.2

Reescreva ${(x^{2} + 4)}^{2}$ como $(x^{2} + 4) (x^{2} + 4)$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 ((x^{2} + 4) (x^{2} + 4)) x + (- 4 (- 8 x^{2}) - 4 \cdot 32) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.3

Expanda $(x^{2} + 4) (x^{2} + 4)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.5.3.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 16 (x^{2} (x^{2} + 4) + 4 (x^{2} + 4)) x + (- 4 (- 8 x^{2}) - 4 \cdot 32) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 16 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 4 + 4 (x^{2} + 4)) x + (- 4 (- 8 x^{2}) - 4 \cdot 32) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 16 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 \cdot 4) x + (- 4 (- 8 x^{2}) - 4 \cdot 32) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.2.5.3.1.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.5.3.1.4.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.4.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 16 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 \cdot 4) x + (- 4 (- 8 x^{2}) - 4 \cdot 32) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.4.1.1.2

Some $2$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 (x^{4} + x^{2} \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 \cdot 4) x + (- 4 (- 8 x^{2}) - 4 \cdot 32) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.4.1.2

Mova $4$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 (x^{4} + 4 \cdot x^{2} + 4 x^{2} + 4 \cdot 4) x + (- 4 (- 8 x^{2}) - 4 \cdot 32) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.4.1.3

Multiplique $4$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 (x^{4} + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 16) x + (- 4 (- 8 x^{2}) - 4 \cdot 32) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.4.2

Some $4 x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 (x^{4} + 8 x^{2} + 16) x + (- 4 (- 8 x^{2}) - 4 \cdot 32) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{(- 16 x^{4} - 16 (8 x^{2}) - 16 \cdot 16) x + (- 4 (- 8 x^{2}) - 4 \cdot 32) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.6.1

Multiplique $8$ por $- 16$ .

$f'' (x) = \frac{(- 16 x^{4} - 128 x^{2} - 16 \cdot 16) x + (- 4 (- 8 x^{2}) - 4 \cdot 32) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.6.2

Multiplique $- 16$ por $16$ .

$f'' (x) = \frac{(- 16 x^{4} - 128 x^{2} - 256) x + (- 4 (- 8 x^{2}) - 4 \cdot 32) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 16 x^{4} x - 128 x^{2} x - 256 x + (- 4 (- 8 x^{2}) - 4 \cdot 32) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.8.1

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.8.1.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 (x \cdot x^{4}) - 128 x^{2} x - 256 x + (- 4 (- 8 x^{2}) - 4 \cdot 32) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.8.1.2

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.8.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 (x \cdot x^{4}) - 128 x^{2} x - 256 x + (- 4 (- 8 x^{2}) - 4 \cdot 32) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.8.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 16 x^{1 + 4} - 128 x^{2} x - 256 x + (- 4 (- 8 x^{2}) - 4 \cdot 32) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.8.1.3

Some $1$ e $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 x^{5} - 128 x^{2} x - 256 x + (- 4 (- 8 x^{2}) - 4 \cdot 32) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.8.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.8.2.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 x^{5} - 128 (x \cdot x^{2}) - 256 x + (- 4 (- 8 x^{2}) - 4 \cdot 32) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.8.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.8.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 x^{5} - 128 (x \cdot x^{2}) - 256 x + (- 4 (- 8 x^{2}) - 4 \cdot 32) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.8.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 16 x^{5} - 128 x^{1 + 2} - 256 x + (- 4 (- 8 x^{2}) - 4 \cdot 32) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.8.2.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 x^{5} - 128 x^{3} - 256 x + (- 4 (- 8 x^{2}) - 4 \cdot 32) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.9

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.9.1

Multiplique $- 8$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 x^{5} - 128 x^{3} - 256 x + (32 x^{2} - 4 \cdot 32) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.9.2

Multiplique $- 4$ por $32$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 x^{5} - 128 x^{3} - 256 x + (32 x^{2} - 128) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.10

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.10.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.10.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 x^{5} - 128 x^{3} - 256 x + (32 x^{2} - 128) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.10.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 16 x^{5} - 128 x^{3} - 256 x + (32 x^{2} - 128) (x^{2 + 1} + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.10.2

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 x^{5} - 128 x^{3} - 256 x + (32 x^{2} - 128) (x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.11

Expanda $(32 x^{2} - 128) (x^{3} + 4 x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 16 x^{5} - 128 x^{3} - 256 x + 32 x^{2} (x^{3} + 4 x) - 128 (x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 16 x^{5} - 128 x^{3} - 256 x + 32 x^{2} x^{3} + 32 x^{2} (4 x) - 128 (x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.11.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 16 x^{5} - 128 x^{3} - 256 x + 32 x^{2} x^{3} + 32 x^{2} (4 x) - 128 x^{3} - 128 (4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.12

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.12.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.12.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.12.1.1.1

Mova $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 x^{5} - 128 x^{3} - 256 x + 32 (x^{3} x^{2}) + 32 x^{2} (4 x) - 128 x^{3} - 128 (4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.12.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 16 x^{5} - 128 x^{3} - 256 x + 32 x^{3 + 2} + 32 x^{2} (4 x) - 128 x^{3} - 128 (4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.12.1.1.3

Some $3$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 x^{5} - 128 x^{3} - 256 x + 32 x^{5} + 32 x^{2} (4 x) - 128 x^{3} - 128 (4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.12.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{- 16 x^{5} - 128 x^{3} - 256 x + 32 x^{5} + 32 \cdot (4 x^{2} x) - 128 x^{3} - 128 (4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.12.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.12.1.3.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 x^{5} - 128 x^{3} - 256 x + 32 x^{5} + 32 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) - 128 x^{3} - 128 (4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.12.1.3.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.12.1.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 x^{5} - 128 x^{3} - 256 x + 32 x^{5} + 32 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) - 128 x^{3} - 128 (4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.12.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 16 x^{5} - 128 x^{3} - 256 x + 32 x^{5} + 32 \cdot (4 x^{1 + 2}) - 128 x^{3} - 128 (4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.12.1.3.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 x^{5} - 128 x^{3} - 256 x + 32 x^{5} + 32 \cdot (4 x^{3}) - 128 x^{3} - 128 (4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.12.1.4

Multiplique $32$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 x^{5} - 128 x^{3} - 256 x + 32 x^{5} + 128 x^{3} - 128 x^{3} - 128 (4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.12.1.5

Multiplique $4$ por $- 128$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 x^{5} - 128 x^{3} - 256 x + 32 x^{5} + 128 x^{3} - 128 x^{3} - 512 x}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.12.2

Subtraia $128 x^{3}$ de $128 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 x^{5} - 128 x^{3} - 256 x + 32 x^{5} + 0 - 512 x}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.12.3

Some $32 x^{5}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 x^{5} - 128 x^{3} - 256 x + 32 x^{5} - 512 x}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.2

Some $- 16 x^{5}$ e $32 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{5} - 128 x^{3} - 256 x - 512 x}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.3

Subtraia $512 x$ de $- 256 x$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{5} - 128 x^{3} - 768 x}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.4.1

Fatore $16 x$ de $16 x^{5} - 128 x^{3} - 768 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.4.1.1

Fatore $16 x$ de $16 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{16 x (x^{4}) - 128 x^{3} - 768 x}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.4.1.2

Fatore $16 x$ de $- 128 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{16 x (x^{4}) + 16 x (- 8 x^{2}) - 768 x}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.4.1.3

Fatore $16 x$ de $- 768 x$ .

$f'' (x) = \frac{16 x (x^{4}) + 16 x (- 8 x^{2}) + 16 x (- 48)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.4.1.4

Fatore $16 x$ de $16 x (x^{4}) + 16 x (- 8 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{16 x (x^{4} - 8 x^{2}) + 16 x (- 48)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.4.1.5

Fatore $16 x$ de $16 x (x^{4} - 8 x^{2}) + 16 x (- 48)$ .

$f'' (x) = \frac{16 x (x^{4} - 8 x^{2} - 48)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.4.2

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{16 x ({(x^{2})}^{2} - 8 x^{2} - 48)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.4.3

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{16 x (u^{2} - 8 u - 48)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.4.4

Fatore $u^{2} - 8 u - 48$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.4.4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 48$ e cuja soma é $- 8$ .

$- 12, 4$

Etapa 1.2.5.4.4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$f'' (x) = \frac{16 x ((u - 12) (u + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.4.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{16 x (x^{2} - 12) (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.5

Cancele o fator comum de $x^{2} + 4$ e ${(x^{2} + 4)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.5.1

Fatore $x^{2} + 4$ de $16 x (x^{2} - 12) (x^{2} + 4)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 4) (16 x (x^{2} - 12))}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.5.2.1

Fatore $x^{2} + 4$ de ${(x^{2} + 4)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 4) (16 x (x^{2} - 12))}{(x^{2} + 4) {(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 1.2.5.5.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 4) (16 x (x^{2} - 12))}{(x^{2} + 4) {(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 1.2.5.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{16 x (x^{2} - 12)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{16 x (x^{2} - 12)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$ .

$\frac{16 x (x^{2} - 12)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{16 x (x^{2} - 12)}{{(x^{2} + 4)}^{3}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{16 x (x^{2} - 12)}{{(x^{2} + 4)}^{3}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$16 x (x^{2} - 12) = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 12 = 0$

Etapa 2.3.2

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.3.3

Defina $x^{2} - 12$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Defina $x^{2} - 12$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 12 = 0$

Etapa 2.3.3.2

Resolva $x^{2} - 12 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1

Some $12$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 12$

Etapa 2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{12}$

Etapa 2.3.3.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{12}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.3.1

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.3.1.1

Fatore $4$ de $12$ .

$x = \pm \sqrt{4 (3)}$

Etapa 2.3.3.2.3.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Etapa 2.3.3.2.3.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm 2 \sqrt{3}$

Etapa 2.3.3.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2 \sqrt{3}$

Etapa 2.3.3.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2 \sqrt{3}$

Etapa 2.3.3.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2 \sqrt{3}, - 2 \sqrt{3}$

Etapa 2.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $16 x (x^{2} - 12) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 2 \sqrt{3}, - 2 \sqrt{3}$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $0$ em $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} + 4}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = \frac{8 (0)}{{(0)}^{2} + 4}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Multiplique $8$ por $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0^{2} + 4}$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 + 4}$

Etapa 3.1.2.2.2

Some $0$ e $4$ .

$f (0) = \frac{0}{4}$

Etapa 3.1.2.3

Divida $0$ por $4$ .

$f (0) = 0$

Etapa 3.1.2.4

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $0$ em $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} + 4}$ é $(0, 0)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(0, 0)$

Etapa 3.3

Substitua $2 \sqrt{3}$ em $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} + 4}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Substitua a variável $x$ por $2 \sqrt{3}$ na expressão.

$f (2 \sqrt{3}) = \frac{8 (2 \sqrt{3})}{{(2 \sqrt{3})}^{2} + 4}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Multiplique $8$ por $2$ .

$f (2 \sqrt{3}) = \frac{16 \sqrt{3}}{{(2 \sqrt{3})}^{2} + 4}$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt{3}$ .

$f (2 \sqrt{3}) = \frac{16 \sqrt{3}}{2^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 4}$

Etapa 3.3.2.2.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (2 \sqrt{3}) = \frac{16 \sqrt{3}}{4 {\sqrt{3}}^{2} + 4}$

Etapa 3.3.2.2.3

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (2 \sqrt{3}) = \frac{16 \sqrt{3}}{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4}$

Etapa 3.3.2.2.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2 \sqrt{3}) = \frac{16 \sqrt{3}}{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4}$

Etapa 3.3.2.2.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (2 \sqrt{3}) = \frac{16 \sqrt{3}}{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 4}$

Etapa 3.3.2.2.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f (2 \sqrt{3}) = \frac{16 \sqrt{3}}{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 4}$

Etapa 3.3.2.2.3.4.2

Reescreva a expressão.

$f (2 \sqrt{3}) = \frac{16 \sqrt{3}}{4 \cdot 3 + 4}$

Etapa 3.3.2.2.3.5

Avalie o expoente.

$f (2 \sqrt{3}) = \frac{16 \sqrt{3}}{4 \cdot 3 + 4}$

Etapa 3.3.2.2.4

Multiplique $4$ por $3$ .

$f (2 \sqrt{3}) = \frac{16 \sqrt{3}}{12 + 4}$

Etapa 3.3.2.2.5

Some $12$ e $4$ .

$f (2 \sqrt{3}) = \frac{16 \sqrt{3}}{16}$

Etapa 3.3.2.3

Cancele o fator comum de $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.3.1

Cancele o fator comum.

$f (2 \sqrt{3}) = \frac{16 \sqrt{3}}{16}$

Etapa 3.3.2.3.2

Divida $\sqrt{3}$ por $1$ .

$f (2 \sqrt{3}) = \sqrt{3}$

Etapa 3.3.2.4

A resposta final é $\sqrt{3}$ .

$\sqrt{3}$

Etapa 3.4

O ponto encontrado ao substituir $2 \sqrt{3}$ em $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} + 4}$ é $(2 \sqrt{3}, \sqrt{3})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(2 \sqrt{3}, \sqrt{3})$

Etapa 3.5

Substitua $- 2 \sqrt{3}$ em $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} + 4}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Substitua a variável $x$ por $- 2 \sqrt{3}$ na expressão.

$f (- 2 \sqrt{3}) = \frac{8 (- 2 \sqrt{3})}{{(- 2 \sqrt{3})}^{2} + 4}$

Etapa 3.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Multiplique $- 2$ por $8$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = \frac{- 16 \sqrt{3}}{{(- 2 \sqrt{3})}^{2} + 4}$

Etapa 3.5.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.1

Aplique a regra do produto a $- 2 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = \frac{- 16 \sqrt{3}}{{(- 2)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 4}$

Etapa 3.5.2.2.2

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = \frac{- 16 \sqrt{3}}{4 {\sqrt{3}}^{2} + 4}$

Etapa 3.5.2.2.3

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = \frac{- 16 \sqrt{3}}{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4}$

Etapa 3.5.2.2.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = \frac{- 16 \sqrt{3}}{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4}$

Etapa 3.5.2.2.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = \frac{- 16 \sqrt{3}}{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 4}$

Etapa 3.5.2.2.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- 2 \sqrt{3}) = \frac{- 16 \sqrt{3}}{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 4}$

Etapa 3.5.2.2.3.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- 2 \sqrt{3}) = \frac{- 16 \sqrt{3}}{4 \cdot 3 + 4}$

Etapa 3.5.2.2.3.5

Avalie o expoente.

$f (- 2 \sqrt{3}) = \frac{- 16 \sqrt{3}}{4 \cdot 3 + 4}$

Etapa 3.5.2.2.4

Multiplique $4$ por $3$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = \frac{- 16 \sqrt{3}}{12 + 4}$

Etapa 3.5.2.2.5

Some $12$ e $4$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = \frac{- 16 \sqrt{3}}{16}$

Etapa 3.5.2.3

Cancele o fator comum de $- 16$ e $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.3.1

Fatore $16$ de $- 16 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = \frac{16 (- \sqrt{3})}{16}$

Etapa 3.5.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.3.2.1

Fatore $16$ de $16$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = \frac{16 (- \sqrt{3})}{16 (1)}$

Etapa 3.5.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- 2 \sqrt{3}) = \frac{16 (- \sqrt{3})}{16 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- 2 \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{1}$

Etapa 3.5.2.3.2.4

Divida $- \sqrt{3}$ por $1$ .

$f (- 2 \sqrt{3}) = - \sqrt{3}$

Etapa 3.5.2.4

A resposta final é $- \sqrt{3}$ .

$- \sqrt{3}$

Etapa 3.6

O ponto encontrado ao substituir $- 2 \sqrt{3}$ em $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} + 4}$ é $(- 2 \sqrt{3}, - \sqrt{3})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- 2 \sqrt{3}, - \sqrt{3})$

Etapa 3.7

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(0, 0), (2 \sqrt{3}, \sqrt{3}), (- 2 \sqrt{3}, - \sqrt{3})$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - 2 \sqrt{3}) \cup (- 2 \sqrt{3}, 0) \cup (0, 2 \sqrt{3}) \cup (2 \sqrt{3}, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 2 \sqrt{3})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 3.56410161$ na expressão.

$f'' (- 3.56410161) = \frac{16 (- 3.56410161) ({(- 3.56410161)}^{2} - 12)}{{({(- 3.56410161)}^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Multiplique $16$ por $- 3.56410161$ .

$f'' (- 3.56410161) = \frac{- 57.02562584 ({(- 3.56410161)}^{2} - 12)}{{({(- 3.56410161)}^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $- 57.02562584$ por ${(- 3.56410161)}^{2} - 12$ .

$f'' (- 3.56410161) = \frac{- 40.07876877}{{({(- 3.56410161)}^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Eleve $- 3.56410161$ à potência de $2$ .

$f'' (- 3.56410161) = \frac{- 40.07876877}{{(12.70282032 + 4)}^{3}}$

Etapa 5.2.2.2

Some $12.70282032$ e $4$ .

$f'' (- 3.56410161) = \frac{- 40.07876877}{{16.70282032}^{3}}$

Etapa 5.2.2.3

Eleve $16.70282032$ à potência de $3$ .

$f'' (- 3.56410161) = \frac{- 40.07876877}{4659.82307819}$

Etapa 5.2.3

Divida $- 40.07876877$ por $4659.82307819$ .

$f'' (- 3.56410161) = - 0.00860092$

Etapa 5.2.4

A resposta final é $- 0.00860092$ .

$- 0.00860092$

Etapa 5.3

Em $- 3.56410161$ , a segunda derivada é $- 0.00860092$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, - 2 \sqrt{3})$ .

Decréscimo em $(- \infty, - 2 \sqrt{3})$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- 2 \sqrt{3}, 0)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.7320508$ na expressão.

$f'' (- 1.7320508) = \frac{16 (- 1.7320508) ({(- 1.7320508)}^{2} - 12)}{{({(- 1.7320508)}^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Multiplique $16$ por $- 1.7320508$ .

$f'' (- 1.7320508) = \frac{- 27.71281292 ({(- 1.7320508)}^{2} - 12)}{{({(- 1.7320508)}^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 27.71281292$ por ${(- 1.7320508)}^{2} - 12$ .

$f'' (- 1.7320508) = \frac{249.41531628}{{({(- 1.7320508)}^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Eleve $- 1.7320508$ à potência de $2$ .

$f'' (- 1.7320508) = \frac{249.41531628}{{(3 + 4)}^{3}}$

Etapa 6.2.2.2

Some $3$ e $4$ .

$f'' (- 1.7320508) = \frac{249.41531628}{7^{3}}$

Etapa 6.2.2.3

Eleve $7$ à potência de $3$ .

$f'' (- 1.7320508) = \frac{249.41531628}{343}$

Etapa 6.2.3

Divida $249.41531628$ por $343$ .

$f'' (- 1.7320508) = 0.72715835$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $0.72715835$ .

$0.72715835$

Etapa 6.3

Em $- 1.7320508$ , a segunda derivada é $0.72715835$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- 2 \sqrt{3}, 0)$ .

Acréscimo em $(- 2 \sqrt{3}, 0)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(0, 2 \sqrt{3})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $1.7320508$ na expressão.

$f'' (1.7320508) = \frac{16 (1.7320508) ({(1.7320508)}^{2} - 12)}{{({(1.7320508)}^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Multiplique $16$ por $1.7320508$ .

$f'' (1.7320508) = \frac{27.71281292 ({1.7320508}^{2} - 12)}{{({1.7320508}^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $27.71281292$ por ${1.7320508}^{2} - 12$ .

$f'' (1.7320508) = \frac{- 249.41531628}{{({1.7320508}^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Eleve $1.7320508$ à potência de $2$ .

$f'' (1.7320508) = \frac{- 249.41531628}{{(3 + 4)}^{3}}$

Etapa 7.2.2.2

Some $3$ e $4$ .

$f'' (1.7320508) = \frac{- 249.41531628}{7^{3}}$

Etapa 7.2.2.3

Eleve $7$ à potência de $3$ .

$f'' (1.7320508) = \frac{- 249.41531628}{343}$

Etapa 7.2.3

Divida $- 249.41531628$ por $343$ .

$f'' (1.7320508) = - 0.72715835$

Etapa 7.2.4

A resposta final é $- 0.72715835$ .

$- 0.72715835$

Etapa 7.3

Em $1.7320508$ , a segunda derivada é $- 0.72715835$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(0, 2 \sqrt{3})$ .

Decréscimo em $(0, 2 \sqrt{3})$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(2 \sqrt{3}, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $3.56410161$ na expressão.

$f'' (3.56410161) = \frac{16 (3.56410161) ({(3.56410161)}^{2} - 12)}{{({(3.56410161)}^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Multiplique $16$ por $3.56410161$ .

$f'' (3.56410161) = \frac{57.02562584 ({3.56410161}^{2} - 12)}{{({3.56410161}^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $57.02562584$ por ${3.56410161}^{2} - 12$ .

$f'' (3.56410161) = \frac{40.07876877}{{({3.56410161}^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Eleve $3.56410161$ à potência de $2$ .

$f'' (3.56410161) = \frac{40.07876877}{{(12.70282032 + 4)}^{3}}$

Etapa 8.2.2.2

Some $12.70282032$ e $4$ .

$f'' (3.56410161) = \frac{40.07876877}{{16.70282032}^{3}}$

Etapa 8.2.2.3

Eleve $16.70282032$ à potência de $3$ .

$f'' (3.56410161) = \frac{40.07876877}{4659.82307819}$

Etapa 8.2.3

Divida $40.07876877$ por $4659.82307819$ .

$f'' (3.56410161) = 0.00860092$

Etapa 8.2.4

A resposta final é $0.00860092$ .

$0.00860092$

Etapa 8.3

Em $3.56410161$ , a segunda derivada é $0.00860092$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(2 \sqrt{3}, \infty)$ .

Acréscimo em $(2 \sqrt{3}, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 2 \sqrt{3}, - \sqrt{3}), (0, 0), (2 \sqrt{3}, \sqrt{3})$ .

$(- 2 \sqrt{3}, - \sqrt{3}), (0, 0), (2 \sqrt{3}, \sqrt{3})$

Etapa 10