Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x {(x - 4)}^{3}$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x {(x - 4)}^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x {(x - 4)}^{3})$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x - 4)}^{3}$ .

$f' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} ({(x - 4)}^{3}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x - 4$ .

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Etapa 1.1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 4$ .

$f' (x) = 2 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 1.1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 4$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 1.1.4

Diferencie.

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Etapa 1.1.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 4))) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 1.1.4.3

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 1.1.4.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.4.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 1.1.4.4.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 1.1.4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1)$

Etapa 1.1.4.6

Multiplique ${(x - 4)}^{3}$ por $1$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3})$

Etapa 1.1.5

Simplifique.

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Etapa 1.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2})) + 2 {(x - 4)}^{3}$

Etapa 1.1.5.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$f' (x) = 6 (x ({(x - 4)}^{2})) + 2 {(x - 4)}^{3}$

Etapa 1.1.5.3

Fatore $2 {(x - 4)}^{2}$ de $6 x {(x - 4)}^{2} + 2 {(x - 4)}^{3}$ .

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Etapa 1.1.5.3.1

Fatore $2 {(x - 4)}^{2}$ de $6 x {(x - 4)}^{2}$ .

$f' (x) = 2 {(x - 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 4)}^{3}$

Etapa 1.1.5.3.2

Fatore $2 {(x - 4)}^{2}$ de $2 {(x - 4)}^{3}$ .

$f' (x) = 2 {(x - 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 4)}^{2} (x - 4)$

Etapa 1.1.5.3.3

Fatore $2 {(x - 4)}^{2}$ de $2 {(x - 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 4)}^{2} (x - 4)$ .

$f' (x) = 2 {(x - 4)}^{2} (3 x + x - 4)$

Etapa 1.1.5.4

Some $3 x$ e $x$ .

$f' (x) = 2 {(x - 4)}^{2} (4 x - 4)$

Etapa 1.1.5.5

Reescreva ${(x - 4)}^{2}$ como $(x - 4) (x - 4)$ .

$f' (x) = 2 ((x - 4) (x - 4)) (4 x - 4)$

Etapa 1.1.5.6

Expanda $(x - 4) (x - 4)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.1.5.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = 2 (x (x - 4) - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

Etapa 1.1.5.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = 2 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

Etapa 1.1.5.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = 2 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Etapa 1.1.5.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.1.5.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.5.7.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Etapa 1.1.5.7.1.2

Mova $- 4$ para a esquerda de $x$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Etapa 1.1.5.7.1.3

Multiplique $- 4$ por $- 4$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) (4 x - 4)$

Etapa 1.1.5.7.2

Subtraia $4 x$ de $- 4 x$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$

Etapa 1.1.5.8

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = (2 x^{2} + 2 (- 8 x) + 2 \cdot 16) (4 x - 4)$

Etapa 1.1.5.9

Simplifique.

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Etapa 1.1.5.9.1

Multiplique $- 8$ por $2$ .

$f' (x) = (2 x^{2} - 16 x + 2 \cdot 16) (4 x - 4)$

Etapa 1.1.5.9.2

Multiplique $2$ por $16$ .

$f' (x) = (2 x^{2} - 16 x + 32) (4 x - 4)$

Etapa 1.1.5.10

Expanda $(2 x^{2} - 16 x + 32) (4 x - 4)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$f' (x) = 2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Etapa 1.1.5.11

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.5.11.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f' (x) = 2 \cdot (4 x^{2} x) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Etapa 1.1.5.11.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.5.11.2.1

Mova $x$ .

$f' (x) = 2 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Etapa 1.1.5.11.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 1.1.5.11.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = 2 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Etapa 1.1.5.11.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = 2 \cdot (4 x^{1 + 2}) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Etapa 1.1.5.11.2.3

Some $1$ e $2$ .

$f' (x) = 2 \cdot (4 x^{3}) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Etapa 1.1.5.11.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$f' (x) = 8 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Etapa 1.1.5.11.4

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Etapa 1.1.5.11.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 \cdot (4 x \cdot x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Etapa 1.1.5.11.6

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.5.11.6.1

Mova $x$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 \cdot (4 (x \cdot x)) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Etapa 1.1.5.11.6.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 \cdot (4 x^{2}) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Etapa 1.1.5.11.7

Multiplique $- 16$ por $4$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Etapa 1.1.5.11.8

Multiplique $- 4$ por $- 16$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 64 x + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Etapa 1.1.5.11.9

Multiplique $4$ por $32$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 64 x + 128 x + 32 \cdot - 4$

Etapa 1.1.5.11.10

Multiplique $32$ por $- 4$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 64 x + 128 x - 128$

Etapa 1.1.5.12

Subtraia $64 x^{2}$ de $- 8 x^{2}$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 72 x^{2} + 64 x + 128 x - 128$

Etapa 1.1.5.13

Some $64 x$ e $128 x$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 72 x^{2} + 192 x - 128$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 x^{3} - 72 x^{2} + 192 x - 128$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 72 x^{2}] + \frac{d}{d x} [192 x] + \frac{d}{d x} [- 128]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

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Etapa 1.2.2.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x^{3}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

Etapa 1.2.2.3

Multiplique $3$ por $8$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

Etapa 1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 72 x^{2}]$ .

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Etapa 1.2.3.1

Como $- 72$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 72 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 72 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 72 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 72 (2 x) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

Etapa 1.2.3.3

Multiplique $2$ por $- 72$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

Etapa 1.2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [192 x]$ .

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Etapa 1.2.4.1

Como $192$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $192 x$ em relação a $x$ é $192 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + 192 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

Etapa 1.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + 192 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 128)$

Etapa 1.2.4.3

Multiplique $192$ por $1$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + 192 + \frac{d}{d x} (- 128)$

Etapa 1.2.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.2.5.1

Como $- 128$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 128$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + 192 + 0$

Etapa 1.2.5.2

Some $24 x^{2} - 144 x + 192$ e $0$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + 192$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $24 x^{2} - 144 x + 192$ .

$24 x^{2} - 144 x + 192$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $24 x^{2} - 144 x + 192 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$24 x^{2} - 144 x + 192 = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.2.1

Fatore $24$ de $24 x^{2} - 144 x + 192$ .

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Etapa 2.2.1.1

Fatore $24$ de $24 x^{2}$ .

$24 (x^{2}) - 144 x + 192 = 0$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $24$ de $- 144 x$ .

$24 (x^{2}) + 24 (- 6 x) + 192 = 0$

Etapa 2.2.1.3

Fatore $24$ de $192$ .

$24 x^{2} + 24 (- 6 x) + 24 \cdot 8 = 0$

Etapa 2.2.1.4

Fatore $24$ de $24 x^{2} + 24 (- 6 x)$ .

$24 (x^{2} - 6 x) + 24 \cdot 8 = 0$

Etapa 2.2.1.5

Fatore $24$ de $24 (x^{2} - 6 x) + 24 \cdot 8$ .

$24 (x^{2} - 6 x + 8) = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore.

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Etapa 2.2.2.1

Fatore $x^{2} - 6 x + 8$ usando o método AC.

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Etapa 2.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $8$ e cuja soma é $- 6$ .

$- 4, - 2$

Etapa 2.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$24 ((x - 4) (x - 2)) = 0$

Etapa 2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$24 (x - 4) (x - 2) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 2.4.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 2.5

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 2.5.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $24 (x - 4) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 4, 2$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

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Etapa 3.1

Substitua $4$ em $f (x) = 2 x {(x - 4)}^{3}$ para encontrar o valor de $y$ .

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Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f (4) = 2 (4) {((4) - 4)}^{3}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.1.2.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$f (4) = 8 {((4) - 4)}^{3}$

Etapa 3.1.2.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$f (4) = 8 \cdot 0^{3}$

Etapa 3.1.2.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (4) = 8 \cdot 0$

Etapa 3.1.2.4

Multiplique $8$ por $0$ .

$f (4) = 0$

Etapa 3.1.2.5

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $4$ em $f (x) = 2 x {(x - 4)}^{3}$ é $(4, 0)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(4, 0)$

Etapa 3.3

Substitua $2$ em $f (x) = 2 x {(x - 4)}^{3}$ para encontrar o valor de $y$ .

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Etapa 3.3.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = 2 (2) {((2) - 4)}^{3}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.3.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (2) = 4 {((2) - 4)}^{3}$

Etapa 3.3.2.2

Subtraia $4$ de $2$ .

$f (2) = 4 {(- 2)}^{3}$

Etapa 3.3.2.3

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f (2) = 4 \cdot - 8$

Etapa 3.3.2.4

Multiplique $4$ por $- 8$ .

$f (2) = - 32$

Etapa 3.3.2.5

A resposta final é $- 32$ .

$- 32$

Etapa 3.4

O ponto encontrado ao substituir $2$ em $f (x) = 2 x {(x - 4)}^{3}$ é $(2, - 32)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(2, - 32)$

Etapa 3.5

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(4, 0), (2, - 32)$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, 2) \cup (2, 4) \cup (4, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 2)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $1.9$ na expressão.

$f'' (1.9) = 24 {(1.9)}^{2} - 144 \cdot 1.9 + 192$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Eleve $1.9$ à potência de $2$ .

$f'' (1.9) = 24 \cdot 3.61 - 144 \cdot 1.9 + 192$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $24$ por $3.61$ .

$f'' (1.9) = 86.64 - 144 \cdot 1.9 + 192$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $- 144$ por $1.9$ .

$f'' (1.9) = 86.64 - 273.6 + 192$

Etapa 5.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Subtraia $273.6$ de $86.64$ .

$f'' (1.9) = - 186.96 + 192$

Etapa 5.2.2.2

Some $- 186.96$ e $192$ .

$f'' (1.9) = 5.04$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $5.04$ .

$5.04$

Etapa 5.3

Em $1.9$ , a segunda derivada é $5.04$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, 2)$ .

Acréscimo em $(- \infty, 2)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(2, 4)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f'' (3) = 24 {(3)}^{2} - 144 \cdot 3 + 192$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f'' (3) = 24 \cdot 9 - 144 \cdot 3 + 192$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $24$ por $9$ .

$f'' (3) = 216 - 144 \cdot 3 + 192$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $- 144$ por $3$ .

$f'' (3) = 216 - 432 + 192$

Etapa 6.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Subtraia $432$ de $216$ .

$f'' (3) = - 216 + 192$

Etapa 6.2.2.2

Some $- 216$ e $192$ .

$f'' (3) = - 24$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 24$ .

$- 24$

Etapa 6.3

Em $3$ , a segunda derivada é $- 24$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(2, 4)$ .

Decréscimo em $(2, 4)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(4, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $4.1$ na expressão.

$f'' (4.1) = 24 {(4.1)}^{2} - 144 \cdot 4.1 + 192$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $4.1$ à potência de $2$ .

$f'' (4.1) = 24 \cdot 16.81 - 144 \cdot 4.1 + 192$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $24$ por $16.81$ .

$f'' (4.1) = 403.44 - 144 \cdot 4.1 + 192$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $- 144$ por $4.1$ .

$f'' (4.1) = 403.44 - 590.4 + 192$

Etapa 7.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Subtraia $590.4$ de $403.44$ .

$f'' (4.1) = - 186.96 + 192$

Etapa 7.2.2.2

Some $- 186.96$ e $192$ .

$f'' (4.1) = 5.04$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $5.04$ .

$5.04$

Etapa 7.3

Em $4.1$ , a segunda derivada é $5.04$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(4, \infty)$ .

Acréscimo em $(4, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(2, - 32), (4, 0)$ .

$(2, - 32), (4, 0)$

Etapa 9