Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{5} - 10 x^{3} - 8$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{5} - 10 x^{3} - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 10 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$f' (x) = 5 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 10 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $- 10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 10 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 10 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $3$ por $- 10$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2} + 0$

Etapa 1.1.3.2

Some $5 x^{4} - 30 x^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2}$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{4} - 30 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2})$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{4}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2})$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f'' (x) = 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2})$

Etapa 1.2.2.3

Multiplique $4$ por $5$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2})$

Etapa 1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 30 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Como $- 30$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 30 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 30 \frac{d}{d x} x^{2}$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 30 (2 x)$

Etapa 1.2.3.3

Multiplique $2$ por $- 30$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 60 x$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $20 x^{3} - 60 x$ .

$20 x^{3} - 60 x$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $20 x^{3} - 60 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$20 x^{3} - 60 x = 0$

Etapa 2.2

Fatore $20 x$ de $20 x^{3} - 60 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Fatore $20 x$ de $20 x^{3}$ .

$20 x (x^{2}) - 60 x = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $20 x$ de $- 60 x$ .

$20 x (x^{2}) + 20 x (- 3) = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore $20 x$ de $20 x (x^{2}) + 20 x (- 3)$ .

$20 x (x^{2} - 3) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.5

Defina $x^{2} - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Defina $x^{2} - 3$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $x^{2} - 3 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 3$

Etapa 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Etapa 2.5.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{3}$

Etapa 2.5.2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{3}$

Etapa 2.5.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $20 x (x^{2} - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $0$ em $f (x) = x^{5} - 10 x^{3} - 8$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = {(0)}^{5} - 10 {(0)}^{3} - 8$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 10 {(0)}^{3} - 8$

Etapa 3.1.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 10 \cdot 0 - 8$

Etapa 3.1.2.1.3

Multiplique $- 10$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 8$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 - 8$

Etapa 3.1.2.2.2

Subtraia $8$ de $0$ .

$f (0) = - 8$

Etapa 3.1.2.3

A resposta final é $- 8$ .

$- 8$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $0$ em $f (x) = x^{5} - 10 x^{3} - 8$ é $(0, - 8)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(0, - 8)$

Etapa 3.3

Substitua $\sqrt{3}$ em $f (x) = x^{5} - 10 x^{3} - 8$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Substitua a variável $x$ por $\sqrt{3}$ na expressão.

$f (\sqrt{3}) = {(\sqrt{3})}^{5} - 10 {(\sqrt{3})}^{3} - 8$

Etapa 3.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Reescreva ${\sqrt{3}}^{5}$ como $\sqrt{3^{5}}$ .

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3^{5}} - 10 {(\sqrt{3})}^{3} - 8$

Etapa 3.3.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $5$ .

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{243} - 10 {(\sqrt{3})}^{3} - 8$

Etapa 3.3.2.1.3

Reescreva $243$ como $9^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.3.1

Fatore $81$ de $243$ .

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{81 (3)} - 10 {(\sqrt{3})}^{3} - 8$

Etapa 3.3.2.1.3.2

Reescreva $81$ como $9^{2}$ .

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{9^{2} \cdot 3} - 10 {(\sqrt{3})}^{3} - 8$

Etapa 3.3.2.1.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (\sqrt{3}) = 9 \sqrt{3} - 10 {(\sqrt{3})}^{3} - 8$

Etapa 3.3.2.1.5

Reescreva ${\sqrt{3}}^{3}$ como $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (\sqrt{3}) = 9 \sqrt{3} - 10 \sqrt{3^{3}} - 8$

Etapa 3.3.2.1.6

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (\sqrt{3}) = 9 \sqrt{3} - 10 \sqrt{27} - 8$

Etapa 3.3.2.1.7

Reescreva $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.7.1

Fatore $9$ de $27$ .

$f (\sqrt{3}) = 9 \sqrt{3} - 10 \sqrt{9 (3)} - 8$

Etapa 3.3.2.1.7.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$f (\sqrt{3}) = 9 \sqrt{3} - 10 \sqrt{3^{2} \cdot 3} - 8$

Etapa 3.3.2.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (\sqrt{3}) = 9 \sqrt{3} - 10 (3 \sqrt{3}) - 8$

Etapa 3.3.2.1.9

Multiplique $3$ por $- 10$ .

$f (\sqrt{3}) = 9 \sqrt{3} - 30 \sqrt{3} - 8$

Etapa 3.3.2.2

Subtraia $30 \sqrt{3}$ de $9 \sqrt{3}$ .

$f (\sqrt{3}) = - 21 \sqrt{3} - 8$

Etapa 3.3.2.3

A resposta final é $- 21 \sqrt{3} - 8$ .

$- 21 \sqrt{3} - 8$

Etapa 3.4

O ponto encontrado ao substituir $\sqrt{3}$ em $f (x) = x^{5} - 10 x^{3} - 8$ é $(\sqrt{3}, - 21 \sqrt{3} - 8)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(\sqrt{3}, - 21 \sqrt{3} - 8)$

Etapa 3.5

Substitua $- \sqrt{3}$ em $f (x) = x^{5} - 10 x^{3} - 8$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Substitua a variável $x$ por $- \sqrt{3}$ na expressão.

$f (- \sqrt{3}) = {(- \sqrt{3})}^{5} - 10 {(- \sqrt{3})}^{3} - 8$

Etapa 3.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = {(- 1)}^{5} {\sqrt{3}}^{5} - 10 {(- \sqrt{3})}^{3} - 8$

Etapa 3.5.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $5$ .

$f (- \sqrt{3}) = - {\sqrt{3}}^{5} - 10 {(- \sqrt{3})}^{3} - 8$

Etapa 3.5.2.1.3

Reescreva ${\sqrt{3}}^{5}$ como $\sqrt{3^{5}}$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3^{5}} - 10 {(- \sqrt{3})}^{3} - 8$

Etapa 3.5.2.1.4

Eleve $3$ à potência de $5$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{243} - 10 {(- \sqrt{3})}^{3} - 8$

Etapa 3.5.2.1.5

Reescreva $243$ como $9^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1.5.1

Fatore $81$ de $243$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{81 (3)} - 10 {(- \sqrt{3})}^{3} - 8$

Etapa 3.5.2.1.5.2

Reescreva $81$ como $9^{2}$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{9^{2} \cdot 3} - 10 {(- \sqrt{3})}^{3} - 8$

Etapa 3.5.2.1.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (- \sqrt{3}) = - (9 \sqrt{3}) - 10 {(- \sqrt{3})}^{3} - 8$

Etapa 3.5.2.1.7

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$f (- \sqrt{3}) = - 9 \sqrt{3} - 10 {(- \sqrt{3})}^{3} - 8$

Etapa 3.5.2.1.8

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = - 9 \sqrt{3} - 10 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) - 8$

Etapa 3.5.2.1.9

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- \sqrt{3}) = - 9 \sqrt{3} - 10 (- {\sqrt{3}}^{3}) - 8$

Etapa 3.5.2.1.10

Reescreva ${\sqrt{3}}^{3}$ como $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (- \sqrt{3}) = - 9 \sqrt{3} - 10 (- \sqrt{3^{3}}) - 8$

Etapa 3.5.2.1.11

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (- \sqrt{3}) = - 9 \sqrt{3} - 10 (- \sqrt{27}) - 8$

Etapa 3.5.2.1.12

Reescreva $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1.12.1

Fatore $9$ de $27$ .

$f (- \sqrt{3}) = - 9 \sqrt{3} - 10 (- \sqrt{9 (3)}) - 8$

Etapa 3.5.2.1.12.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$f (- \sqrt{3}) = - 9 \sqrt{3} - 10 (- \sqrt{3^{2} \cdot 3}) - 8$

Etapa 3.5.2.1.13

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (- \sqrt{3}) = - 9 \sqrt{3} - 10 (- (3 \sqrt{3})) - 8$

Etapa 3.5.2.1.14

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f (- \sqrt{3}) = - 9 \sqrt{3} - 10 (- 3 \sqrt{3}) - 8$

Etapa 3.5.2.1.15

Multiplique $- 3$ por $- 10$ .

$f (- \sqrt{3}) = - 9 \sqrt{3} + 30 \sqrt{3} - 8$

Etapa 3.5.2.2

Some $- 9 \sqrt{3}$ e $30 \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = 21 \sqrt{3} - 8$

Etapa 3.5.2.3

A resposta final é $21 \sqrt{3} - 8$ .

$21 \sqrt{3} - 8$

Etapa 3.6

O ponto encontrado ao substituir $- \sqrt{3}$ em $f (x) = x^{5} - 10 x^{3} - 8$ é $(- \sqrt{3}, 21 \sqrt{3} - 8)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- \sqrt{3}, 21 \sqrt{3} - 8)$

Etapa 3.7

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(0, - 8), (\sqrt{3}, - 21 \sqrt{3} - 8), (- \sqrt{3}, 21 \sqrt{3} - 8)$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - \sqrt{3}) \cup (- \sqrt{3}, 0) \cup (0, \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - \sqrt{3})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.8320508$ na expressão.

$f'' (- 1.8320508) = 20 {(- 1.8320508)}^{3} - 60 \cdot - 1.8320508$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 1.8320508$ à potência de $3$ .

$f'' (- 1.8320508) = 20 \cdot - 6.14911394 - 60 \cdot - 1.8320508$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $20$ por $- 6.14911394$ .

$f'' (- 1.8320508) = - 122.98227893 - 60 \cdot - 1.8320508$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $- 60$ por $- 1.8320508$ .

$f'' (- 1.8320508) = - 122.98227893 + 109.92304845$

Etapa 5.2.2

Some $- 122.98227893$ e $109.92304845$ .

$f'' (- 1.8320508) = - 13.05923048$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 13.05923048$ .

$- 13.05923048$

Etapa 5.3

Em $- 1.8320508$ , a segunda derivada é $- 13.05923048$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, - \sqrt{3})$ .

Decréscimo em $(- \infty, - \sqrt{3})$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \sqrt{3}, 0)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.8660254$ na expressão.

$f'' (- 0.8660254) = 20 {(- 0.8660254)}^{3} - 60 \cdot - 0.8660254$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 0.8660254$ à potência de $3$ .

$f'' (- 0.8660254) = 20 \cdot - 0.64951905 - 60 \cdot - 0.8660254$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $20$ por $- 0.64951905$ .

$f'' (- 0.8660254) = - 12.99038105 - 60 \cdot - 0.8660254$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $- 60$ por $- 0.8660254$ .

$f'' (- 0.8660254) = - 12.99038105 + 51.96152422$

Etapa 6.2.2

Some $- 12.99038105$ e $51.96152422$ .

$f'' (- 0.8660254) = 38.97114317$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $38.97114317$ .

$38.97114317$

Etapa 6.3

Em $- 0.8660254$ , a segunda derivada é $38.97114317$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \sqrt{3}, 0)$ .

Acréscimo em $(- \sqrt{3}, 0)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(0, \sqrt{3})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0.8660254$ na expressão.

$f'' (0.8660254) = 20 {(0.8660254)}^{3} - 60 \cdot 0.8660254$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $0.8660254$ à potência de $3$ .

$f'' (0.8660254) = 20 \cdot 0.64951905 - 60 \cdot 0.8660254$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $20$ por $0.64951905$ .

$f'' (0.8660254) = 12.99038105 - 60 \cdot 0.8660254$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $- 60$ por $0.8660254$ .

$f'' (0.8660254) = 12.99038105 - 51.96152422$

Etapa 7.2.2

Subtraia $51.96152422$ de $12.99038105$ .

$f'' (0.8660254) = - 38.97114317$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 38.97114317$ .

$- 38.97114317$

Etapa 7.3

Em $0.8660254$ , a segunda derivada é $- 38.97114317$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(0, \sqrt{3})$ .

Decréscimo em $(0, \sqrt{3})$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(\sqrt{3}, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $1.8320508$ na expressão.

$f'' (1.8320508) = 20 {(1.8320508)}^{3} - 60 \cdot 1.8320508$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Eleve $1.8320508$ à potência de $3$ .

$f'' (1.8320508) = 20 \cdot 6.14911394 - 60 \cdot 1.8320508$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $20$ por $6.14911394$ .

$f'' (1.8320508) = 122.98227893 - 60 \cdot 1.8320508$

Etapa 8.2.1.3

Multiplique $- 60$ por $1.8320508$ .

$f'' (1.8320508) = 122.98227893 - 109.92304845$

Etapa 8.2.2

Subtraia $109.92304845$ de $122.98227893$ .

$f'' (1.8320508) = 13.05923048$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $13.05923048$ .

$13.05923048$

Etapa 8.3

Em $1.8320508$ , a segunda derivada é $13.05923048$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(\sqrt{3}, \infty)$ .

Acréscimo em $(\sqrt{3}, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \sqrt{3}, 21 \sqrt{3} - 8), (0, - 8), (\sqrt{3}, - 21 \sqrt{3} - 8)$ .

$(- \sqrt{3}, 21 \sqrt{3} - 8), (0, - 8), (\sqrt{3}, - 21 \sqrt{3} - 8)$

Etapa 10