Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} + 4$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 3 x^{3} + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 9 x^{2} + 0$

Etapa 1.1.3.2

Some $4 x^{3} - 9 x^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 9 x^{2}$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} - 9 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2})$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2})$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2})$

Etapa 1.2.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2})$

Etapa 1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} x^{2}$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 9 (2 x)$

Etapa 1.2.3.3

Multiplique $2$ por $- 9$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 18 x$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $12 x^{2} - 18 x$ .

$12 x^{2} - 18 x$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $12 x^{2} - 18 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$12 x^{2} - 18 x = 0$

Etapa 2.2

Fatore $6 x$ de $12 x^{2} - 18 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Fatore $6 x$ de $12 x^{2}$ .

$6 x (2 x) - 18 x = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $6 x$ de $- 18 x$ .

$6 x (2 x) + 6 x (- 3) = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore $6 x$ de $6 x (2 x) + 6 x (- 3)$ .

$6 x (2 x - 3) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$2 x - 3 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.5

Defina $2 x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Defina $2 x - 3$ como igual a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $2 x - 3 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$2 x = 3$

Etapa 2.5.2.2

Divida cada termo em $2 x = 3$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Etapa 2.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Etapa 2.5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $6 x (2 x - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \frac{3}{2}$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $0$ em $f (x) = x^{4} - 3 x^{3} + 4$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = {(0)}^{4} - 3 {(0)}^{3} + 4$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 3 {(0)}^{3} + 4$

Etapa 3.1.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 3 \cdot 0 + 4$

Etapa 3.1.2.1.3

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 4$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 4$

Etapa 3.1.2.2.2

Some $0$ e $4$ .

$f (0) = 4$

Etapa 3.1.2.3

A resposta final é $4$ .

$4$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $0$ em $f (x) = x^{4} - 3 x^{3} + 4$ é $(0, 4)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(0, 4)$

Etapa 3.3

Substitua $\frac{3}{2}$ em $f (x) = x^{4} - 3 x^{3} + 4$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{3}{2}$ na expressão.

$f (\frac{3}{2}) = {(\frac{3}{2})}^{4} - 3 {(\frac{3}{2})}^{3} + 4$

Etapa 3.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{3^{4}}{2^{4}} - 3 {(\frac{3}{2})}^{3} + 4$

Etapa 3.3.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{2^{4}} - 3 {(\frac{3}{2})}^{3} + 4$

Etapa 3.3.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - 3 {(\frac{3}{2})}^{3} + 4$

Etapa 3.3.2.1.4

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - 3 \frac{3^{3}}{2^{3}} + 4$

Etapa 3.3.2.1.5

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - 3 \frac{27}{2^{3}} + 4$

Etapa 3.3.2.1.6

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - 3 (\frac{27}{8}) + 4$

Etapa 3.3.2.1.7

Multiplique $- 3 (\frac{27}{8})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.7.1

Combine $- 3$ e $\frac{27}{8}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{- 3 \cdot 27}{8} + 4$

Etapa 3.3.2.1.7.2

Multiplique $- 3$ por $27$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{- 81}{8} + 4$

Etapa 3.3.2.1.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - \frac{81}{8} + 4$

Etapa 3.3.2.2

Encontre o denominador comum.

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Etapa 3.3.2.2.1

Multiplique $\frac{81}{8}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - (\frac{81}{8} \cdot \frac{2}{2}) + 4$

Etapa 3.3.2.2.2

Multiplique $\frac{81}{8}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - \frac{81 \cdot 2}{8 \cdot 2} + 4$

Etapa 3.3.2.2.3

Escreva $4$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - \frac{81 \cdot 2}{8 \cdot 2} + \frac{4}{1}$

Etapa 3.3.2.2.4

Multiplique $\frac{4}{1}$ por $\frac{16}{16}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - \frac{81 \cdot 2}{8 \cdot 2} + \frac{4}{1} \cdot \frac{16}{16}$

Etapa 3.3.2.2.5

Multiplique $\frac{4}{1}$ por $\frac{16}{16}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - \frac{81 \cdot 2}{8 \cdot 2} + \frac{4 \cdot 16}{16}$

Etapa 3.3.2.2.6

Reordene os fatores de $8 \cdot 2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 8} + \frac{4 \cdot 16}{16}$

Etapa 3.3.2.2.7

Multiplique $2$ por $8$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - \frac{81 \cdot 2}{16} + \frac{4 \cdot 16}{16}$

Etapa 3.3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81 - 81 \cdot 2 + 4 \cdot 16}{16}$

Etapa 3.3.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.2.4.1

Multiplique $- 81$ por $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81 - 162 + 4 \cdot 16}{16}$

Etapa 3.3.2.4.2

Multiplique $4$ por $16$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81 - 162 + 64}{16}$

Etapa 3.3.2.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.2.5.1

Subtraia $162$ de $81$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{- 81 + 64}{16}$

Etapa 3.3.2.5.2

Some $- 81$ e $64$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{- 17}{16}$

Etapa 3.3.2.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{17}{16}$

Etapa 3.3.2.6

A resposta final é $- \frac{17}{16}$ .

$- \frac{17}{16}$

Etapa 3.4

O ponto encontrado ao substituir $\frac{3}{2}$ em $f (x) = x^{4} - 3 x^{3} + 4$ é $(\frac{3}{2}, - \frac{17}{16})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(\frac{3}{2}, - \frac{17}{16})$

Etapa 3.5

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(0, 4), (\frac{3}{2}, - \frac{17}{16})$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 0)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.1$ na expressão.

$f'' (- 0.1) = 12 {(- 0.1)}^{2} - 18 \cdot - 0.1$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 0.1$ à potência de $2$ .

$f'' (- 0.1) = 12 \cdot 0.01 - 18 \cdot - 0.1$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $12$ por $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = 0.12 - 18 \cdot - 0.1$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $- 18$ por $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = 0.12 + 1.8$

Etapa 5.2.2

Some $0.12$ e $1.8$ .

$f'' (- 0.1) = 1.92$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $1.92$ .

$1.92$

Etapa 5.3

Em $- 0.1$ , a segunda derivada é $1.92$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, 0)$ .

Acréscimo em $(- \infty, 0)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(0, \frac{3}{2})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0.75$ na expressão.

$f'' (0.75) = 12 {(0.75)}^{2} - 18 \cdot 0.75$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $0.75$ à potência de $2$ .

$f'' (0.75) = 12 \cdot 0.5625 - 18 \cdot 0.75$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $12$ por $0.5625$ .

$f'' (0.75) = 6.75 - 18 \cdot 0.75$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $- 18$ por $0.75$ .

$f'' (0.75) = 6.75 - 13.5$

Etapa 6.2.2

Subtraia $13.5$ de $6.75$ .

$f'' (0.75) = - 6.75$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 6.75$ .

$- 6.75$

Etapa 6.3

Em $0.75$ , a segunda derivada é $- 6.75$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(0, \frac{3}{2})$ .

Decréscimo em $(0, \frac{3}{2})$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(\frac{3}{2}, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $1.6$ na expressão.

$f'' (1.6) = 12 {(1.6)}^{2} - 18 \cdot 1.6$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $1.6$ à potência de $2$ .

$f'' (1.6) = 12 \cdot 2.56 - 18 \cdot 1.6$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $12$ por $2.56$ .

$f'' (1.6) = 30.72 - 18 \cdot 1.6$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $- 18$ por $1.6$ .

$f'' (1.6) = 30.72 - 28.8$

Etapa 7.2.2

Subtraia $28.8$ de $30.72$ .

$f'' (1.6) = 1.92$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $1.92$ .

$1.92$

Etapa 7.3

Em $1.6$ , a segunda derivada é $1.92$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(\frac{3}{2}, \infty)$ .

Acréscimo em $(\frac{3}{2}, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0, 4), (\frac{3}{2}, - \frac{17}{16})$ .

$(0, 4), (\frac{3}{2}, - \frac{17}{16})$

Etapa 9