Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 3$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 4 x^{3} + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 0$

Etapa 1.1.3.2

Some $4 x^{3} - 12 x^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2}$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} - 12 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Etapa 1.2.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Etapa 1.2.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Etapa 1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

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Etapa 1.2.3.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$12 x^{2} - 12 (2 x)$

Etapa 1.2.3.3

Multiplique $2$ por $- 12$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $12 x^{2} - 24 x$ .

$12 x^{2} - 24 x$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $12 x^{2} - 24 x = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$12 x^{2} - 24 x = 0$

Etapa 2.2

Fatore $12 x$ de $12 x^{2} - 24 x$ .

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Etapa 2.2.1

Fatore $12 x$ de $12 x^{2}$ .

$12 x (x) - 24 x = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $12 x$ de $- 24 x$ .

$12 x (x) + 12 x (- 2) = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore $12 x$ de $12 x (x) + 12 x (- 2)$ .

$12 x (x - 2) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.5

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 2.5.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $12 x (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 2$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

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Etapa 3.1

Substitua $0$ em $f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 3$ para encontrar o valor de $y$ .

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Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{3} + 3$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{3} + 3$

Etapa 3.1.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0 + 3$

Etapa 3.1.2.1.3

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 3$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 3.1.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 3$

Etapa 3.1.2.2.2

Some $0$ e $3$ .

$f (0) = 3$

Etapa 3.1.2.3

A resposta final é $3$ .

$3$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $0$ em $f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 3$ é $(0, 3)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(0, 3)$

Etapa 3.3

Substitua $2$ em $f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 3$ para encontrar o valor de $y$ .

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Etapa 3.3.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = {(2)}^{4} - 4 {(2)}^{3} + 3$

Etapa 3.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f (2) = 16 - 4 {(2)}^{3} + 3$

Etapa 3.3.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (2) = 16 - 4 \cdot 8 + 3$

Etapa 3.3.2.1.3

Multiplique $- 4$ por $8$ .

$f (2) = 16 - 32 + 3$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 3.3.2.2.1

Subtraia $32$ de $16$ .

$f (2) = - 16 + 3$

Etapa 3.3.2.2.2

Some $- 16$ e $3$ .

$f (2) = - 13$

Etapa 3.3.2.3

A resposta final é $- 13$ .

$- 13$

Etapa 3.4

O ponto encontrado ao substituir $2$ em $f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 3$ é $(2, - 13)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(2, - 13)$

Etapa 3.5

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(0, 3), (2, - 13)$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 0)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.1$ na expressão.

$f'' (- 0.1) = 12 {(- 0.1)}^{2} - 24 \cdot - 0.1$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 0.1$ à potência de $2$ .

$f'' (- 0.1) = 12 \cdot 0.01 - 24 \cdot - 0.1$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $12$ por $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = 0.12 - 24 \cdot - 0.1$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $- 24$ por $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = 0.12 + 2.4$

Etapa 5.2.2

Some $0.12$ e $2.4$ .

$f'' (- 0.1) = 2.52$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $2.52$ .

$2.52$

Etapa 5.3

Em $- 0.1$ , a segunda derivada é $2.52$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, 0)$ .

Acréscimo em $(- \infty, 0)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(0, 2)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f'' (1) = 12 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f'' (1) = 12 \cdot 1 - 24 \cdot 1$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $12$ por $1$ .

$f'' (1) = 12 - 24 \cdot 1$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $- 24$ por $1$ .

$f'' (1) = 12 - 24$

Etapa 6.2.2

Subtraia $24$ de $12$ .

$f'' (1) = - 12$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 12$ .

$- 12$

Etapa 6.3

Em $1$ , a segunda derivada é $- 12$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(0, 2)$ .

Decréscimo em $(0, 2)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(2, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $2.1$ na expressão.

$f'' (2.1) = 12 {(2.1)}^{2} - 24 \cdot 2.1$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Eleve $2.1$ à potência de $2$ .

$f'' (2.1) = 12 \cdot 4.41 - 24 \cdot 2.1$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $12$ por $4.41$ .

$f'' (2.1) = 52.92 - 24 \cdot 2.1$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $- 24$ por $2.1$ .

$f'' (2.1) = 52.92 - 50.4$

Etapa 7.2.2

Subtraia $50.4$ de $52.92$ .

$f'' (2.1) = 2.52$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $2.52$ .

$2.52$

Etapa 7.3

Em $2.1$ , a segunda derivada é $2.52$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(2, \infty)$ .

Acréscimo em $(2, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, os pontos de inflexão são $(0, 3), (2, - 13)$ .

$(0, 3), (2, - 13)$

Etapa 9