Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 {(x^{2} - 12)}^{2}$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 {(x^{2} - 12)}^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 12)}^{2}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 12)}^{2})$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} - 12$ .

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Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 12$ .

$f' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 12))$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 12))$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 12$ .

$f' (x) = 2 (2 (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x^{2} - 12))$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$f' (x) = 4 ((x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x^{2} - 12))$

Etapa 1.1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 12$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$f' (x) = 4 (x^{2} - 12) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12))$

Etapa 1.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 4 (x^{2} - 12) (2 x + \frac{d}{d x} (- 12))$

Etapa 1.1.3.4

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 4 (x^{2} - 12) (2 x + 0)$

Etapa 1.1.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.3.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = 4 (x^{2} - 12) (2 x)$

Etapa 1.1.3.5.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$f' (x) = 8 (x^{2} - 12) x$

Etapa 1.1.4

Simplifique.

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Etapa 1.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = (8 x^{2} + 8 \cdot - 12) x$

Etapa 1.1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = 8 x^{2} x + 8 \cdot (- 12 x)$

Etapa 1.1.4.3

Combine os termos.

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Etapa 1.1.4.3.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = 8 (x \cdot x^{2}) + 8 \cdot (- 12 x)$

Etapa 1.1.4.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = 8 x^{1 + 2} + 8 \cdot (- 12 x)$

Etapa 1.1.4.3.3

Some $1$ e $2$ .

$f' (x) = 8 x^{3} + 8 \cdot (- 12 x)$

Etapa 1.1.4.3.4

Multiplique $8$ por $- 12$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 96 x$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 x^{3} - 96 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 96 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

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Etapa 1.2.2.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x^{3}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

Etapa 1.2.2.3

Multiplique $3$ por $8$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

Etapa 1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 96 x]$ .

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Etapa 1.2.3.1

Como $- 96$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 96 x$ em relação a $x$ é $- 96 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 96 \frac{d}{d x} x$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 96 \cdot 1$

Etapa 1.2.3.3

Multiplique $- 96$ por $1$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 96$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $24 x^{2} - 96$ .

$24 x^{2} - 96$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $24 x^{2} - 96 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$24 x^{2} - 96 = 0$

Etapa 2.2

Some $96$ aos dois lados da equação.

$24 x^{2} = 96$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $24 x^{2} = 96$ por $24$ e simplifique.

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Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $24 x^{2} = 96$ por $24$ .

$\frac{24 x^{2}}{24} = \frac{96}{24}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $24$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{24 x^{2}}{24} = \frac{96}{24}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{96}{24}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.3.1

Divida $96$ por $24$ .

$x^{2} = 4$

Etapa 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Etapa 2.5

Simplifique $\pm \sqrt{4}$ .

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Etapa 2.5.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Etapa 2.5.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 2$

Etapa 2.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2$

Etapa 2.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2$

Etapa 2.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2, - 2$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

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Etapa 3.1

Substitua $2$ em $f (x) = 2 {(x^{2} - 12)}^{2}$ para encontrar o valor de $y$ .

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Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = 2 {({(2)}^{2} - 12)}^{2}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.1.2.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (2) = 2 {(4 - 12)}^{2}$

Etapa 3.1.2.2

Subtraia $12$ de $4$ .

$f (2) = 2 {(- 8)}^{2}$

Etapa 3.1.2.3

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$f (2) = 2 \cdot 64$

Etapa 3.1.2.4

Multiplique $2$ por $64$ .

$f (2) = 128$

Etapa 3.1.2.5

A resposta final é $128$ .

$128$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $2$ em $f (x) = 2 {(x^{2} - 12)}^{2}$ é $(2, 128)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(2, 128)$

Etapa 3.3

Substitua $- 2$ em $f (x) = 2 {(x^{2} - 12)}^{2}$ para encontrar o valor de $y$ .

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Etapa 3.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = 2 {({(- 2)}^{2} - 12)}^{2}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.3.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f (- 2) = 2 {(4 - 12)}^{2}$

Etapa 3.3.2.2

Subtraia $12$ de $4$ .

$f (- 2) = 2 {(- 8)}^{2}$

Etapa 3.3.2.3

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$f (- 2) = 2 \cdot 64$

Etapa 3.3.2.4

Multiplique $2$ por $64$ .

$f (- 2) = 128$

Etapa 3.3.2.5

A resposta final é $128$ .

$128$

Etapa 3.4

O ponto encontrado ao substituir $- 2$ em $f (x) = 2 {(x^{2} - 12)}^{2}$ é $(- 2, 128)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- 2, 128)$

Etapa 3.5

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(2, 128), (- 2, 128)$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 2)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 2.1$ na expressão.

$f'' (- 2.1) = 24 {(- 2.1)}^{2} - 96$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 2.1$ à potência de $2$ .

$f'' (- 2.1) = 24 \cdot 4.41 - 96$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $24$ por $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = 105.84 - 96$

Etapa 5.2.2

Subtraia $96$ de $105.84$ .

$f'' (- 2.1) = 9.84$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $9.84$ .

$9.84$

Etapa 5.3

Em $- 2.1$ , a segunda derivada é $9.84$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, - 2)$ .

Acréscimo em $(- \infty, - 2)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- 2, 2)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = 24 {(0)}^{2} - 96$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = 24 \cdot 0 - 96$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $24$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 - 96$

Etapa 6.2.2

Subtraia $96$ de $0$ .

$f'' (0) = - 96$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 96$ .

$- 96$

Etapa 6.3

Em $0$ , a segunda derivada é $- 96$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- 2, 2)$ .

Decréscimo em $(- 2, 2)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(2, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $2.1$ na expressão.

$f'' (2.1) = 24 {(2.1)}^{2} - 96$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Eleve $2.1$ à potência de $2$ .

$f'' (2.1) = 24 \cdot 4.41 - 96$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $24$ por $4.41$ .

$f'' (2.1) = 105.84 - 96$

Etapa 7.2.2

Subtraia $96$ de $105.84$ .

$f'' (2.1) = 9.84$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $9.84$ .

$9.84$

Etapa 7.3

Em $2.1$ , a segunda derivada é $9.84$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(2, \infty)$ .

Acréscimo em $(2, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 2, 128), (2, 128)$ .

$(- 2, 128), (2, 128)$

Etapa 9