Cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$

Etapa 1

Escreva $y = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ como uma função.

$f (x) = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Como $\frac{1}{8}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{8} x^{4}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{1}{8} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Etapa 2.1.2.3

Combine $4$ e $\frac{1}{8}$ .

$\frac{4}{8} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Etapa 2.1.2.4

Combine $\frac{4}{8}$ e $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{8} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Etapa 2.1.2.5

Cancele o fator comum de $4$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.5.1

Fatore $4$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3})}{8} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Etapa 2.1.2.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.5.2.1

Fatore $4$ de $8$ .

$\frac{4 x^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Etapa 2.1.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Etapa 2.1.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x^{3}}{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x^{3}}{2} - 3 (2 x)$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{2} - 6 x$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x^{3}}{2} - 6 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Etapa 2.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x^{3}}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Etapa 2.2.2.3

Combine $3$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Etapa 2.2.2.4

Combine $\frac{3}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Etapa 2.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} - 6 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} - 6 \cdot 1$

Etapa 2.2.3.3

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 x^{2}}{2} - 6$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{3 x^{2}}{2} - 6$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} - 6$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{3 x^{2}}{2} - 6 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} - 6 = 0$

Etapa 3.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$\frac{3 x^{2}}{2} = 6$

Etapa 3.3

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Etapa 3.4

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.1

Simplifique $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.1.1

Combine.

$\frac{2 (3 x^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Etapa 3.4.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (3 x^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Etapa 3.4.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Etapa 3.4.1.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Etapa 3.4.1.1.3.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Simplifique $\frac{2}{3} \cdot 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1.1

Fatore $3$ de $6$ .

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot (3 (2))$

Etapa 3.4.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

Etapa 3.4.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$x^{2} = 2 \cdot 2$

Etapa 3.4.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x^{2} = 4$

Etapa 3.5

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{4}$

Etapa 3.6

Simplifique $\pm \sqrt{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Etapa 3.6.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 2$

Etapa 3.7

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2$

Etapa 3.7.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2$

Etapa 3.7.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2, - 2$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $2$ em $f (x) = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = \frac{1}{8} \cdot {(2)}^{4} - 3 {(2)}^{2}$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f (2) = \frac{1}{8} \cdot 16 - 3 {(2)}^{2}$

Etapa 4.1.2.1.2

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.2.1

Fatore $8$ de $16$ .

$f (2) = \frac{1}{8} \cdot (8 (2)) - 3 {(2)}^{2}$

Etapa 4.1.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f (2) = \frac{1}{8} \cdot (8 \cdot 2) - 3 {(2)}^{2}$

Etapa 4.1.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f (2) = 2 - 3 {(2)}^{2}$

Etapa 4.1.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (2) = 2 - 3 \cdot 4$

Etapa 4.1.2.1.4

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$f (2) = 2 - 12$

Etapa 4.1.2.2

Subtraia $12$ de $2$ .

$f (2) = - 10$

Etapa 4.1.2.3

A resposta final é $- 10$ .

$- 10$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $2$ em $f (x) = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ é $(2, - 10)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(2, - 10)$

Etapa 4.3

Substitua $- 2$ em $f (x) = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = \frac{1}{8} \cdot {(- 2)}^{4} - 3 {(- 2)}^{2}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $4$ .

$f (- 2) = \frac{1}{8} \cdot 16 - 3 {(- 2)}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.2.1

Fatore $8$ de $16$ .

$f (- 2) = \frac{1}{8} \cdot (8 (2)) - 3 {(- 2)}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- 2) = \frac{1}{8} \cdot (8 \cdot 2) - 3 {(- 2)}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- 2) = 2 - 3 {(- 2)}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.3

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f (- 2) = 2 - 3 \cdot 4$

Etapa 4.3.2.1.4

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$f (- 2) = 2 - 12$

Etapa 4.3.2.2

Subtraia $12$ de $2$ .

$f (- 2) = - 10$

Etapa 4.3.2.3

A resposta final é $- 10$ .

$- 10$

Etapa 4.4

O ponto encontrado ao substituir $- 2$ em $f (x) = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ é $(- 2, - 10)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- 2, - 10)$

Etapa 4.5

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(2, - 10), (- 2, - 10)$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 2)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 2.1$ na expressão.

$f'' (- 2.1) = \frac{3 {(- 2.1)}^{2}}{2} - 6$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 2.1$ à potência de $2$ .

$f'' (- 2.1) = \frac{3 \cdot 4.41}{2} - 6$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $3$ por $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = \frac{13.23}{2} - 6$

Etapa 6.2.1.3

Divida $13.23$ por $2$ .

$f'' (- 2.1) = 6.615 - 6$

Etapa 6.2.2

Subtraia $6$ de $6.615$ .

$f'' (- 2.1) = 0.615$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $0.615$ .

$0.615$

Etapa 6.3

Em $- 2.1$ , a segunda derivada é $0.615$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, - 2)$ .

Acréscimo em $(- \infty, - 2)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 2, 2)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = \frac{3 {(0)}^{2}}{2} - 6$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 0}{2} - 6$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$f'' (0) = \frac{0}{2} - 6$

Etapa 7.2.1.3

Divida $0$ por $2$ .

$f'' (0) = 0 - 6$

Etapa 7.2.2

Subtraia $6$ de $0$ .

$f'' (0) = - 6$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 6$ .

$- 6$

Etapa 7.3

Em $0$ , a segunda derivada é $- 6$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- 2, 2)$ .

Decréscimo em $(- 2, 2)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(2, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $2.1$ na expressão.

$f'' (2.1) = \frac{3 {(2.1)}^{2}}{2} - 6$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Eleve $2.1$ à potência de $2$ .

$f'' (2.1) = \frac{3 \cdot 4.41}{2} - 6$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $3$ por $4.41$ .

$f'' (2.1) = \frac{13.23}{2} - 6$

Etapa 8.2.1.3

Divida $13.23$ por $2$ .

$f'' (2.1) = 6.615 - 6$

Etapa 8.2.2

Subtraia $6$ de $6.615$ .

$f'' (2.1) = 0.615$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $0.615$ .

$0.615$

Etapa 8.3

Em $2.1$ , a segunda derivada é $0.615$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(2, \infty)$ .

Acréscimo em $(2, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 9

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, os pontos de inflexão são $(- 2, - 10), (2, - 10)$ .

$(- 2, - 10), (2, - 10)$

Etapa 10