Cálculo Exemplos

$y = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 9}$

Etapa 1

Escreva $y = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 9}$ como uma função.

$f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 9}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} + 1$ e $g (x) = x^{2} - 9$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 2.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 9) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 9) (2 x + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 9) (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 9) (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.4.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} - 9$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} - 9) x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 9) x - (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 9) x - (x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.7

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 9) x - (x^{2} + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.8

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.8.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 9) x - (x^{2} + 1) (2 x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.8.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 9) x - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 2.1.3

Simplifique.

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Etapa 2.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 9) x - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 9 x) - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 9 x) + (- 2 x^{2} - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 9 x) - 2 x^{2} x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1.3.5.1

Combine os termos opostos em $2 x^{2} x + 2 \cdot - 9 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot 1 x$ .

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Etapa 2.1.3.5.1.1

Subtraia $2 x^{2} x$ de $2 x^{2} x$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot (- 9 x) + 0 - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.5.1.2

Some $2 \cdot - 9 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot (- 9 x) - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.3.5.2.1

Multiplique $2$ por $- 9$ .

$f' (x) = \frac{- 18 x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.5.2.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{- 18 x - 2 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.5.3

Subtraia $2 x$ de $- 18 x$ .

$f' (x) = \frac{- 20 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{20 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.7

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.1.3.7.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$f' (x) = - \frac{20 x}{{(x^{2} - 3^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.3.7.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$f' (x) = - \frac{20 x}{{((x + 3) (x - 3))}^{2}}$

Etapa 2.1.3.7.3

Aplique a regra do produto a $(x + 3) (x - 3)$ .

$f' (x) = - \frac{20 x}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.2.1

Como $- 20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{20 x}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}$ em relação a $x$ é $- 20 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}$

Etapa 2.2.2

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.2.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.3.2

Multiplique ${(x + 3)}^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = {(x + 3)}^{2}$ e $g (x) = {(x - 3)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x ({(x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x - 3)}^{2}) + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2}))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 3$ .

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Etapa 2.2.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x - 3$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x ({(x + 3)}^{2} (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2}))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x ({(x + 3)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2}))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x - 3$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x ({(x + 3)}^{2} (2 (x - 3) \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2}))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.6

Diferencie.

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Etapa 2.2.6.1

Mova $2$ para a esquerda de ${(x + 3)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 \cdot ({(x + 3)}^{2} (x - 3)) \frac{d}{d x} (x - 3) + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2}))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.6.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2}))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.6.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) (1 + \frac{d}{d x} (- 3)) + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2}))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.6.4

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) (1 + 0) + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2}))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.6.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.5.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) \cdot 1 + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2}))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.6.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{2}))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x + 3$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + {(x - 3)}^{2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (x + 3)))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + {(x - 3)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} (x + 3)))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x + 3$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + {(x - 3)}^{2} (2 (x + 3) \frac{d}{d x} (x + 3)))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.8

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.1

Mova $2$ para a esquerda de ${(x - 3)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 \cdot ({(x - 3)}^{2} (x + 3)) \frac{d}{d x} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3)))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.8.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} (3)))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.8.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3) (1 + 0))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.8.5

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.5.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3) \cdot 1)}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.8.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 20 \frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.8.5.3

Combine $- 20$ e $\frac{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 20 ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3)))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.8.5.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{(20) ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3)))}{{({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.9.1

Aplique a regra do produto a ${(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{20 ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3) + 2 {(x - 3)}^{2} (x + 3)))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{20 ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} - x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3)) - x (2 {(x - 3)}^{2} (x + 3)))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{20 ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}) + 20 (- x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3))) + 20 (- x (2 {(x - 3)}^{2} (x + 3)))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.9.4.1

Fatore $20 (x + 3) (x - 3)$ de $20 {(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} + 20 (- x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3))) + 20 (- x (2 {(x - 3)}^{2} (x + 3)))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.9.4.1.1

Fatore $20 (x + 3) (x - 3)$ de $20 {(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) ((x + 3) (x - 3)) + 20 (- x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3))) + 20 (- x (2 {(x - 3)}^{2} (x + 3)))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4.1.2

Fatore $20 (x + 3) (x - 3)$ de $20 (- x (2 {(x + 3)}^{2} (x - 3)))$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) ((x + 3) (x - 3)) + 20 (x + 3) (x - 3) (- x (2 (x + 3))) + 20 (- x (2 {(x - 3)}^{2} (x + 3)))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4.1.3

Fatore $20 (x + 3) (x - 3)$ de $20 (- x (2 {(x - 3)}^{2} (x + 3)))$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) ((x + 3) (x - 3)) + 20 (x + 3) (x - 3) (- x (2 (x + 3))) + 20 (x + 3) (x - 3) (- x (2 (x - 3)))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4.1.4

Fatore $20 (x + 3) (x - 3)$ de $20 (x + 3) (x - 3) ((x + 3) (x - 3)) + 20 (x + 3) (x - 3) (- x (2 (x + 3)))$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) ((x + 3) (x - 3) - x (2 (x + 3))) + 20 (x + 3) (x - 3) (- x (2 (x - 3)))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4.1.5

Fatore $20 (x + 3) (x - 3)$ de $20 (x + 3) (x - 3) ((x + 3) (x - 3) - x (2 (x + 3))) + 20 (x + 3) (x - 3) (- x (2 (x - 3)))$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) ((x + 3) (x - 3) - x (2 (x + 3)) - x (2 (x - 3)))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4.2

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.9.4.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) ((x + 3) (x - 3) - 2 x (x + 3) - x (2 (x - 3)))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) ((x + 3) (x - 3) - 2 x (x + 3) - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.9.4.3.1

Expanda $(x + 3) (x - 3)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.9.4.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (x (x - 3) + 3 (x - 3) - 2 x (x + 3) - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4.3.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3) - 2 x (x + 3) - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3 - 2 x (x + 3) - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4.3.2

Combine os termos opostos em $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.9.4.3.2.1

Reorganize os fatores nos termos $x \cdot - 3$ e $3 x$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3 - 2 x (x + 3) - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4.3.2.2

Some $- 3 x$ e $3 x$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3 - 2 x (x + 3) - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4.3.2.3

Some $x \cdot x$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (x \cdot x + 3 \cdot - 3 - 2 x (x + 3) - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4.3.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.9.4.3.3.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 3 \cdot - 3 - 2 x (x + 3) - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4.3.3.2

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9 - 2 x (x + 3) - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 3 - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4.3.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.9.4.3.5.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 3 - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4.3.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9 - 2 x^{2} - 2 x \cdot 3 - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4.3.6

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9 - 2 x^{2} - 6 x - 2 x (x - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4.3.7

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9 - 2 x^{2} - 6 x - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 3)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4.3.8

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.9.4.3.8.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9 - 2 x^{2} - 6 x - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 3)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4.3.8.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9 - 2 x^{2} - 6 x - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 3)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4.3.9

Multiplique $- 3$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9 - 2 x^{2} - 6 x - 2 x^{2} + 6 x)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4.4

Combine os termos opostos em $x^{2} - 9 - 2 x^{2} - 6 x - 2 x^{2} + 6 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.9.4.4.1

Some $- 6 x$ e $6 x$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 0)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4.4.2

Some $x^{2} - 9 - 2 x^{2} - 2 x^{2}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 9 - 2 x^{2} - 2 x^{2})}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4.5

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (- x^{2} - 9 - 2 x^{2})}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4.6

Subtraia $2 x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (- 3 x^{2} - 9)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4.7

Fatore $3$ de $- 3 x^{2} - 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.9.4.7.1

Fatore $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (3 (- x^{2}) - 9)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4.7.2

Fatore $3$ de $- 9$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (3 (- x^{2}) + 3 (- 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4.7.3

Fatore $3$ de $3 (- x^{2}) + 3 (- 3)$ .

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) (3 (- x^{2} - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

$f'' (x) = - \frac{20 (x + 3) (x - 3) \cdot (3 (- x^{2} - 3))}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.4.8

Multiplique $3$ por $20$ .

$f'' (x) = - \frac{60 (x + 3) (x - 3) (- x^{2} - 3)}{{({(x + 3)}^{2})}^{2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.5

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.9.5.1

Multiplique os expoentes em ${({(x + 3)}^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.9.5.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{60 (x + 3) (x - 3) (- x^{2} - 3)}{{(x + 3)}^{2 \cdot 2} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.5.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{60 (x + 3) (x - 3) (- x^{2} - 3)}{{(x + 3)}^{4} {({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.9.5.2

Multiplique os expoentes em ${({(x - 3)}^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.9.5.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{60 (x + 3) (x - 3) (- x^{2} - 3)}{{(x + 3)}^{4} {(x - 3)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.2.9.5.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{60 (x + 3) (x - 3) (- x^{2} - 3)}{{(x + 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Etapa 2.2.9.5.3

Cancele o fator comum de $x + 3$ e ${(x + 3)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.9.5.3.1

Fatore $x + 3$ de $60 (x + 3) (x - 3) (- x^{2} - 3)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x + 3) ((60 (x - 3)) (- x^{2} - 3))}{{(x + 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Etapa 2.2.9.5.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.9.5.3.2.1

Fatore $x + 3$ de ${(x + 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x + 3) ((60 (x - 3)) (- x^{2} - 3))}{(x + 3) ({(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4})}$

Etapa 2.2.9.5.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - \frac{(x + 3) ((60 (x - 3)) (- x^{2} - 3))}{(x + 3) ({(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4})}$

Etapa 2.2.9.5.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - \frac{(60 (x - 3)) (- x^{2} - 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4}}$

Etapa 2.2.9.5.4

Cancele o fator comum de $x - 3$ e ${(x - 3)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.9.5.4.1

Fatore $x - 3$ de $60 (x - 3) (- x^{2} - 3)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 3) (60 (- x^{2} - 3))}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4}}$

Etapa 2.2.9.5.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.9.5.4.2.1

Fatore $x - 3$ de ${(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 3) (60 (- x^{2} - 3))}{(x - 3) ({(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3})}$

Etapa 2.2.9.5.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - \frac{(x - 3) (60 (- x^{2} - 3))}{(x - 3) ({(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3})}$

Etapa 2.2.9.5.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - \frac{60 (- x^{2} - 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Etapa 2.2.9.6

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{60 (- (x^{2}) - 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Etapa 2.2.9.7

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$f'' (x) = - \frac{60 (- (x^{2}) - 1 \cdot 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Etapa 2.2.9.8

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (3)$ .

$f'' (x) = - \frac{60 (- (x^{2} + 3))}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Etapa 2.2.9.9

Reescreva $- (x^{2} + 3)$ como $- 1 (x^{2} + 3)$ .

$f'' (x) = - \frac{60 (- 1 (x^{2} + 3))}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Etapa 2.2.9.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{60 (x^{2} + 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Etapa 2.2.9.11

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{60 (x^{2} + 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}})$

Etapa 2.2.9.12

Multiplique $\frac{60 (x^{2} + 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{60 (x^{2} + 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{60 (x^{2} + 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$ .

$\frac{60 (x^{2} + 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{60 (x^{2} + 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{60 (x^{2} + 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}} = 0$

Etapa 3.2

Defina o numerador como igual a zero.

$60 (x^{2} + 3) = 0$

Etapa 3.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $60 (x^{2} + 3) = 0$ por $60$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Divida cada termo em $60 (x^{2} + 3) = 0$ por $60$ .

$\frac{60 (x^{2} + 3)}{60} = \frac{0}{60}$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $60$ .

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Etapa 3.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{60 (x^{2} + 3)}{60} = \frac{0}{60}$

Etapa 3.3.1.2.1.2

Divida $x^{2} + 3$ por $1$ .

$x^{2} + 3 = \frac{0}{60}$

Etapa 3.3.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1.3.1

Divida $0$ por $60$ .

$x^{2} + 3 = 0$

Etapa 3.3.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 3$

Etapa 3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Etapa 3.3.4

Simplifique $\pm \sqrt{- 3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.1

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Etapa 3.3.4.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Etapa 3.3.4.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

Etapa 3.3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i \sqrt{3}$

Etapa 3.3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i \sqrt{3}$

Etapa 3.3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Etapa 4

Nenhum valor encontrado que possa tornar a segunda derivada igual a $0$ .

Nenhum ponto de inflexão