Cálculo Exemplos

$y = {(x - 2)}^{3} + 3$

Etapa 1

Escreva $y = {(x - 2)}^{3} + 3$ como uma função.

$f (x) = {(x - 2)}^{3} + 3$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de ${(x - 2)}^{3} + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x - 2)}^{3}) + \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$ .

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Etapa 2.1.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x - 2$ .

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Etapa 2.1.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 2$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 2) + \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 2.1.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 2) + \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 2.1.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 2$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 2) + \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 2.1.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 2.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 2.1.2.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (1 + 0) + \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 2.1.2.5

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 2.1.2.6

Multiplique $3$ por $1$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} + \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} + 0$

Etapa 2.1.3.2

Some $3 {(x - 2)}^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2}$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.2.1

Reescreva ${(x - 2)}^{2}$ como $(x - 2) (x - 2)$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 ((x - 2) (x - 2)))$

Etapa 2.2.2

Expanda $(x - 2) (x - 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 (x (x - 2) - 2 (x - 2)))$

Etapa 2.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)))$

Etapa 2.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2))$

Etapa 2.2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2))$

Etapa 2.2.3.1.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2))$

Etapa 2.2.3.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4))$

Etapa 2.2.3.2

Subtraia $2 x$ de $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 (x^{2} - 4 x + 4))$

Etapa 2.2.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 (x^{2} - 4 x + 4)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 4)$

Etapa 2.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 4 x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (4))$

Etapa 2.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (4))$

Etapa 2.2.7

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 3 (2 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (4))$

Etapa 2.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4))$

Etapa 2.2.9

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$f'' (x) = 3 (2 x - 4 + \frac{d}{d x} (4))$

Etapa 2.2.10

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 3 (2 x - 4 + 0)$

Etapa 2.2.11

Some $2 x - 4$ e $0$ .

$f'' (x) = 3 (2 x - 4)$

Etapa 2.2.12

Simplifique.

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Etapa 2.2.12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = 3 (2 x) + 3 \cdot - 4$

Etapa 2.2.12.2

Combine os termos.

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Etapa 2.2.12.2.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 6 x + 3 \cdot - 4$

Etapa 2.2.12.2.2

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$f'' (x) = 6 x - 12$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $6 x - 12$ .

$6 x - 12$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $6 x - 12 = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$6 x - 12 = 0$

Etapa 3.2

Some $12$ aos dois lados da equação.

$6 x = 12$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $6 x = 12$ por $6$ e simplifique.

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Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $6 x = 12$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{12}{6}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 x}{6} = \frac{12}{6}$

Etapa 3.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{12}{6}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.1

Divida $12$ por $6$ .

$x = 2$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

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Etapa 4.1

Substitua $2$ em $f (x) = {(x - 2)}^{3} + 3$ para encontrar o valor de $y$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = {((2) - 2)}^{3} + 3$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

Subtraia $2$ de $2$ .

$f (2) = 0^{3} + 3$

Etapa 4.1.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (2) = 0 + 3$

Etapa 4.1.2.2

Some $0$ e $3$ .

$f (2) = 3$

Etapa 4.1.2.3

A resposta final é $3$ .

$3$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $2$ em $f (x) = {(x - 2)}^{3} + 3$ é $(2, 3)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(2, 3)$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 2)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $1.9$ na expressão.

$f'' (1.9) = 6 (1.9) - 12$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $6$ por $1.9$ .

$f'' (1.9) = 11.4 - 12$

Etapa 6.2.2

Subtraia $12$ de $11.4$ .

$f'' (1.9) = - 0.6$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 0.6$ .

$- 0.6$

Etapa 6.3

Em $1.9$ , a segunda derivada é $- 0.6$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, 2)$ .

Decréscimo em $(- \infty, 2)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(2, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $2.1$ na expressão.

$f'' (2.1) = 6 (2.1) - 12$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Multiplique $6$ por $2.1$ .

$f'' (2.1) = 12.6 - 12$

Etapa 7.2.2

Subtraia $12$ de $12.6$ .

$f'' (2.1) = 0.6$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $0.6$ .

$0.6$

Etapa 7.3

Em $2.1$ , a segunda derivada é $0.6$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(2, \infty)$ .

Acréscimo em $(2, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, o ponto de inflexão é $(2, 3)$ .

$(2, 3)$

Etapa 9