Cálculo Exemplos

$y = \frac{3}{x^{2} - 9}$

Etapa 1

Escreva $y = \frac{3}{x^{2} - 9}$ como uma função.

$f (x) = \frac{3}{x^{2} - 9}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 2.1.1.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3}{x^{2} - 9}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 9}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2} - 9})$

Etapa 2.1.1.2

Reescreva $\frac{1}{x^{2} - 9}$ como ${(x^{2} - 9)}^{- 1}$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 9)}^{- 1})$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2} - 9$ .

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Etapa 2.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 9$ .

$f' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f' (x) = 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

Etapa 2.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 9$ .

$f' (x) = 3 (- {(x^{2} - 9)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

Etapa 2.1.3

Diferencie.

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Etapa 2.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = - 3 ({(x^{2} - 9)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

Etapa 2.1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f' (x) = - 3 {(x^{2} - 9)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9))$

Etapa 2.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = - 3 {(x^{2} - 9)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 9))$

Etapa 2.1.3.4

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = - 3 {(x^{2} - 9)}^{- 2} (2 x + 0)$

Etapa 2.1.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1.3.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = - 3 {(x^{2} - 9)}^{- 2} (2 x)$

Etapa 2.1.3.5.2

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$f' (x) = - 6 {(x^{2} - 9)}^{- 2} x$

Etapa 2.1.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 6 \frac{1}{{(x^{2} - 9)}^{2}} \cdot x$

Etapa 2.1.5

Combine os termos.

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Etapa 2.1.5.1

Combine $- 6$ e $\frac{1}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 6}{{(x^{2} - 9)}^{2}} \cdot x$

Etapa 2.1.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{6}{{(x^{2} - 9)}^{2}} \cdot x$

Etapa 2.1.5.3

Combine $x$ e $\frac{6}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{x \cdot 6}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 2.1.5.4

Mova $6$ para a esquerda de $x$ .

$f' (x) = - \frac{6 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.2.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{6 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} - 9)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{({(x^{2} - 9)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.2.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} - 9)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.2.3.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 2.2.3.3

Multiplique ${(x^{2} - 9)}^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} - 9$ .

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Etapa 2.2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 9$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 2.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 2.2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 9$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - x (2 (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 2.2.5

Simplifique com fatoração.

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Etapa 2.2.5.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.2

Fatore $x^{2} - 9$ de ${(x^{2} - 9)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$ .

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Etapa 2.2.5.2.1

Fatore $x^{2} - 9$ de ${(x^{2} - 9)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9) - 2 x ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.2.2

Fatore $x^{2} - 9$ de $- 2 x ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9) + (x^{2} - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 9)))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.2.3

Fatore $x^{2} - 9$ de $(x^{2} - 9) (x^{2} - 9) + (x^{2} - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 9)))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Etapa 2.2.6

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.2.6.1

Fatore $x^{2} - 9$ de ${(x^{2} - 9)}^{4}$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 9)))}{(x^{2} - 9) {(x^{2} - 9)}^{3}}$

Etapa 2.2.6.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - 6 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 9)))}{(x^{2} - 9) {(x^{2} - 9)}^{3}}$

Etapa 2.2.6.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Etapa 2.2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Etapa 2.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Etapa 2.2.9

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Etapa 2.2.10

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.10.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Etapa 2.2.10.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Etapa 2.2.11

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Etapa 2.2.12

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Etapa 2.2.13

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Etapa 2.2.14

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 4 x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Etapa 2.2.15

Subtraia $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{- 3 x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Etapa 2.2.16

Combine $- 6$ e $\frac{- 3 x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 (- 3 x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Etapa 2.2.17

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{(6) (- 3 x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Etapa 2.2.18

Simplifique.

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Etapa 2.2.18.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{6 (- 3 x^{2}) + 6 \cdot - 9}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Etapa 2.2.18.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.18.2.1

Multiplique $- 3$ por $6$ .

$f'' (x) = - \frac{- 18 x^{2} + 6 \cdot - 9}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Etapa 2.2.18.2.2

Multiplique $6$ por $- 9$ .

$f'' (x) = - \frac{- 18 x^{2} - 54}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{- 18 x^{2} - 54}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$ .

$- \frac{- 18 x^{2} - 54}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{- 18 x^{2} - 54}{{(x^{2} - 9)}^{3}} = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- \frac{- 18 x^{2} - 54}{{(x^{2} - 9)}^{3}} = 0$

Etapa 3.2

Defina o numerador como igual a zero.

$- 18 x^{2} - 54 = 0$

Etapa 3.3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 3.3.1

Some $54$ aos dois lados da equação.

$- 18 x^{2} = 54$

Etapa 3.3.2

Divida cada termo em $- 18 x^{2} = 54$ por $- 18$ e simplifique.

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Etapa 3.3.2.1

Divida cada termo em $- 18 x^{2} = 54$ por $- 18$ .

$\frac{- 18 x^{2}}{- 18} = \frac{54}{- 18}$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 18$ .

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Etapa 3.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 18 x^{2}}{- 18} = \frac{54}{- 18}$

Etapa 3.3.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{54}{- 18}$

Etapa 3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.2.3.1

Divida $54$ por $- 18$ .

$x^{2} = - 3$

Etapa 3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Etapa 3.3.4

Simplifique $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Etapa 3.3.4.1

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Etapa 3.3.4.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Etapa 3.3.4.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

Etapa 3.3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i \sqrt{3}$

Etapa 3.3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i \sqrt{3}$

Etapa 3.3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Etapa 4

Nenhum valor encontrado que possa tornar a segunda derivada igual a $0$ .

Nenhum ponto de inflexão