Cálculo Exemplos

$y = - x^{3} + x - 5$

Etapa 1

Escreva $y = - x^{3} + x - 5$ como uma função.

$f (x) = - x^{3} + x - 5$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{3} + x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 2.1.2.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 2.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 3 x^{2} + 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 2.1.3.2

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 3 x^{2} + 1 + 0$

Etapa 2.1.3.3

Some $- 3 x^{2} + 1$ e $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 1$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 3 x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.2.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$- 6 x + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 6 x + 0$

Etapa 2.2.3.2

Some $- 6 x$ e $0$ .

$f'' (x) = - 6 x$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 6 x$ .

$- 6 x$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 6 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- 6 x = 0$

Etapa 3.2

Divida cada termo em $- 6 x = 0$ por $- 6$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Divida cada termo em $- 6 x = 0$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{0}{- 6}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{0}{- 6}$

Etapa 3.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{- 6}$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Divida $0$ por $- 6$ .

$x = 0$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $0$ em $f (x) = - x^{3} + x - 5$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = - {(0)}^{3} + 0 - 5$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Remova os parênteses.

$f (0) = - {(0)}^{3} + 0 - 5$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = - 0 + 0 - 5$

Etapa 4.1.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 5$

Etapa 4.1.2.3

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.1

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 - 5$

Etapa 4.1.2.3.2

Subtraia $5$ de $0$ .

$f (0) = - 5$

Etapa 4.1.2.4

A resposta final é $- 5$ .

$- 5$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $0$ em $f (x) = - x^{3} + x - 5$ é $(0, - 5)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(0, - 5)$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 0)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.1$ na expressão.

$f'' (- 0.1) = - 6 \cdot - 0.1$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Multiplique $- 6$ por $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = 0.6$

Etapa 6.2.2

A resposta final é $0.6$ .

$0.6$

Etapa 6.3

Em $- 0.1$ , a segunda derivada é $0.6$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, 0)$ .

Acréscimo em $(- \infty, 0)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(0, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0.1$ na expressão.

$f'' (0.1) = - 6 \cdot 0.1$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Multiplique $- 6$ por $0.1$ .

$f'' (0.1) = - 0.6$

Etapa 7.2.2

A resposta final é $- 0.6$ .

$- 0.6$

Etapa 7.3

Em $0.1$ , a segunda derivada é $- 0.6$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(0, \infty)$ .

Decréscimo em $(0, \infty)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 8

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, o ponto de inflexão é $(0, - 5)$ .

$(0, - 5)$

Etapa 9