Cálculo Exemplos

$y = - x^{6} + 6 x^{5} - 6 x + 13$

Etapa 1

Escreva $y = - x^{6} + 6 x^{5} - 6 x + 13$ como uma função.

$f (x) = - x^{6} + 6 x^{5} - 6 x + 13$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{6} + 6 x^{5} - 6 x + 13$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{6}] + \frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [13]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{6}) + \frac{d}{d x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (13)$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{6}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{6}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{6} + \frac{d}{d x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (13)$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$f' (x) = - (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (13)$

Etapa 2.1.2.3

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} + \frac{d}{d x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (13)$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{5}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} + 6 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (13)$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} + 6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (13)$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $5$ por $6$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} + 30 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (13)$

Etapa 2.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Etapa 2.1.4.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} + 30 x^{4} - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (13)$

Etapa 2.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} + 30 x^{4} - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (13)$

Etapa 2.1.4.3

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} + 30 x^{4} - 6 + \frac{d}{d x} (13)$

Etapa 2.1.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.1.5.1

Como $13$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $13$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} + 30 x^{4} - 6 + 0$

Etapa 2.1.5.2

Some $- 6 x^{5} + 30 x^{4} - 6$ e $0$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} + 30 x^{4} - 6$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 6 x^{5} + 30 x^{4} - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [30 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (30 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Etapa 2.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x^{5}]$ .

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Etapa 2.2.2.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x^{5}$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} x^{5} + \frac{d}{d x} (30 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$f'' (x) = - 6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (30 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Etapa 2.2.2.3

Multiplique $5$ por $- 6$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} + \frac{d}{d x} (30 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Etapa 2.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [30 x^{4}]$ .

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Etapa 2.2.3.1

Como $30$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $30 x^{4}$ em relação a $x$ é $30 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} + 30 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} + 30 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Etapa 2.2.3.3

Multiplique $4$ por $30$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} + 120 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 6)$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.2.4.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} + 120 x^{3} + 0$

Etapa 2.2.4.2

Some $- 30 x^{4} + 120 x^{3}$ e $0$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} + 120 x^{3}$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 30 x^{4} + 120 x^{3}$ .

$- 30 x^{4} + 120 x^{3}$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 30 x^{4} + 120 x^{3} = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- 30 x^{4} + 120 x^{3} = 0$

Etapa 3.2

Fatore $- 30 x^{3}$ de $- 30 x^{4} + 120 x^{3}$ .

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Etapa 3.2.1

Fatore $- 30 x^{3}$ de $- 30 x^{4}$ .

$- 30 x^{3} x + 120 x^{3} = 0$

Etapa 3.2.2

Fatore $- 30 x^{3}$ de $120 x^{3}$ .

$- 30 x^{3} x - 30 x^{3} \cdot - 4 = 0$

Etapa 3.2.3

Fatore $- 30 x^{3}$ de $- 30 x^{3} (x) - 30 x^{3} (- 4)$ .

$- 30 x^{3} (x - 4) = 0$

Etapa 3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{3} = 0$

$x - 4 = 0$

Etapa 3.4

Defina $x^{3}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.4.1

Defina $x^{3}$ como igual a $0$ .

$x^{3} = 0$

Etapa 3.4.2

Resolva $x^{3} = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Etapa 3.4.2.2

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

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Etapa 3.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 3.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 3.5

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.5.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 3.5.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 3.6

A solução final são todos os valores que tornam $- 30 x^{3} (x - 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 4$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

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Etapa 4.1

Substitua $0$ em $f (x) = - x^{6} + 6 x^{5} - 6 x + 13$ para encontrar o valor de $y$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = - {(0)}^{6} + 6 {(0)}^{5} - 6 \cdot 0 + 13$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = - 0 + 6 {(0)}^{5} - 6 \cdot 0 + 13$

Etapa 4.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 6 {(0)}^{5} - 6 \cdot 0 + 13$

Etapa 4.1.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 + 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0 + 13$

Etapa 4.1.2.1.4

Multiplique $6$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 6 \cdot 0 + 13$

Etapa 4.1.2.1.5

Multiplique $- 6$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 13$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 4.1.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 13$

Etapa 4.1.2.2.2

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 13$

Etapa 4.1.2.2.3

Some $0$ e $13$ .

$f (0) = 13$

Etapa 4.1.2.3

A resposta final é $13$ .

$13$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $0$ em $f (x) = - x^{6} + 6 x^{5} - 6 x + 13$ é $(0, 13)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(0, 13)$

Etapa 4.3

Substitua $4$ em $f (x) = - x^{6} + 6 x^{5} - 6 x + 13$ para encontrar o valor de $y$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f (4) = - {(4)}^{6} + 6 {(4)}^{5} - 6 \cdot 4 + 13$

Etapa 4.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $6$ .

$f (4) = - 1 \cdot 4096 + 6 {(4)}^{5} - 6 \cdot 4 + 13$

Etapa 4.3.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $4096$ .

$f (4) = - 4096 + 6 {(4)}^{5} - 6 \cdot 4 + 13$

Etapa 4.3.2.1.3

Eleve $4$ à potência de $5$ .

$f (4) = - 4096 + 6 \cdot 1024 - 6 \cdot 4 + 13$

Etapa 4.3.2.1.4

Multiplique $6$ por $1024$ .

$f (4) = - 4096 + 6144 - 6 \cdot 4 + 13$

Etapa 4.3.2.1.5

Multiplique $- 6$ por $4$ .

$f (4) = - 4096 + 6144 - 24 + 13$

Etapa 4.3.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.3.2.2.1

Some $- 4096$ e $6144$ .

$f (4) = 2048 - 24 + 13$

Etapa 4.3.2.2.2

Subtraia $24$ de $2048$ .

$f (4) = 2024 + 13$

Etapa 4.3.2.2.3

Some $2024$ e $13$ .

$f (4) = 2037$

Etapa 4.3.2.3

A resposta final é $2037$ .

$2037$

Etapa 4.4

O ponto encontrado ao substituir $4$ em $f (x) = - x^{6} + 6 x^{5} - 6 x + 13$ é $(4, 2037)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(4, 2037)$

Etapa 4.5

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(0, 13), (4, 2037)$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 0)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.1$ na expressão.

$f'' (- 0.1) = - 30 {(- 0.1)}^{4} + 120 {(- 0.1)}^{3}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 0.1$ à potência de $4$ .

$f'' (- 0.1) = - 30 \cdot 0.0001 + 120 {(- 0.1)}^{3}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 30$ por $0.0001$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.003 + 120 {(- 0.1)}^{3}$

Etapa 6.2.1.3

Eleve $- 0.1$ à potência de $3$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.003 + 120 \cdot - 0.001$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $120$ por $- 0.001$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.003 - 0.12$

Etapa 6.2.2

Subtraia $0.12$ de $- 0.003$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.123$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 0.123$ .

$- 0.123$

Etapa 6.3

Em $- 0.1$ , a segunda derivada é $- 0.123$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, 0)$ .

Decréscimo em $(- \infty, 0)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(0, 4)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f'' (2) = - 30 {(2)}^{4} + 120 {(2)}^{3}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f'' (2) = - 30 \cdot 16 + 120 {(2)}^{3}$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $- 30$ por $16$ .

$f'' (2) = - 480 + 120 {(2)}^{3}$

Etapa 7.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f'' (2) = - 480 + 120 \cdot 8$

Etapa 7.2.1.4

Multiplique $120$ por $8$ .

$f'' (2) = - 480 + 960$

Etapa 7.2.2

Some $- 480$ e $960$ .

$f'' (2) = 480$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $480$ .

$480$

Etapa 7.3

Em $2$ , a segunda derivada é $480$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(0, 4)$ .

Acréscimo em $(0, 4)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(4, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $4.1$ na expressão.

$f'' (4.1) = - 30 {(4.1)}^{4} + 120 {(4.1)}^{3}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.1.1

Eleve $4.1$ à potência de $4$ .

$f'' (4.1) = - 30 \cdot 282.5761 + 120 {(4.1)}^{3}$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $- 30$ por $282.5761$ .

$f'' (4.1) = - 8477.283 + 120 {(4.1)}^{3}$

Etapa 8.2.1.3

Eleve $4.1$ à potência de $3$ .

$f'' (4.1) = - 8477.283 + 120 \cdot 68.921$

Etapa 8.2.1.4

Multiplique $120$ por $68.921$ .

$f'' (4.1) = - 8477.283 + 8270.52$

Etapa 8.2.2

Some $- 8477.283$ e $8270.52$ .

$f'' (4.1) = - 206.763$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $- 206.763$ .

$- 206.763$

Etapa 8.3

Em $4.1$ , a segunda derivada é $- 206.763$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(4, \infty)$ .

Decréscimo em $(4, \infty)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0, 13), (4, 2037)$ .

$(0, 13), (4, 2037)$

Etapa 10