Cálculo Exemplos

$f (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$12 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$12 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Etapa 1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Etapa 1.1.4.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} + 6 x - 6 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$12 x^{2} + 6 x - 6 \cdot 1$

Etapa 1.1.4.3

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $12 x^{2} + 6 x - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Etapa 1.2.2.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x^{2}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 1.2.2.3

Multiplique $2$ por $12$ .

$24 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Etapa 1.2.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$24 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 1.2.3.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$24 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.2.4.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$24 x + 6 + 0$

Etapa 1.2.4.2

Some $24 x + 6$ e $0$ .

$f'' (x) = 24 x + 6$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $24 x + 6$ .

$24 x + 6$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $24 x + 6 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$24 x + 6 = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$24 x = - 6$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $24 x = - 6$ por $24$ e simplifique.

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Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $24 x = - 6$ por $24$ .

$\frac{24 x}{24} = \frac{- 6}{24}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $24$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{24 x}{24} = \frac{- 6}{24}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 6}{24}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Cancele o fator comum de $- 6$ e $24$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1.1

Fatore $6$ de $- 6$ .

$x = \frac{6 (- 1)}{24}$

Etapa 2.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1.2.1

Fatore $6$ de $24$ .

$x = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 4}$

Etapa 2.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 4}$

Etapa 2.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{- 1}{4}$

Etapa 2.3.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1}{4}$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

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Etapa 3.1

Substitua $- \frac{1}{4}$ em $f (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x$ para encontrar o valor de $y$ .

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Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{1}{4}$ na expressão.

$f (- \frac{1}{4}) = 4 {(- \frac{1}{4})}^{3} + 3 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 6 (- \frac{1}{4})$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{4})}^{3}) + 3 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 6 (- \frac{1}{4})$

Etapa 3.1.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 4 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{4^{3}})) + 3 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 6 (- \frac{1}{4})$

Etapa 3.1.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 4 (- \frac{1^{3}}{4^{3}}) + 3 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 6 (- \frac{1}{4})$

Etapa 3.1.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (- \frac{1}{4}) = 4 (- \frac{1}{4^{3}}) + 3 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 6 (- \frac{1}{4})$

Etapa 3.1.2.1.4

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 4 (- \frac{1}{64}) + 3 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 6 (- \frac{1}{4})$

Etapa 3.1.2.1.5

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.1.2.1.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{64}$ para o numerador.

$f (- \frac{1}{4}) = 4 (\frac{- 1}{64}) + 3 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 6 (- \frac{1}{4})$

Etapa 3.1.2.1.5.2

Fatore $4$ de $64$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 4 (\frac{- 1}{4 (16)}) + 3 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 6 (- \frac{1}{4})$

Etapa 3.1.2.1.5.3

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{1}{4}) = 4 (\frac{- 1}{4 \cdot 16}) + 3 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 6 (- \frac{1}{4})$

Etapa 3.1.2.1.5.4

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{- 1}{16} + 3 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 6 (- \frac{1}{4})$

Etapa 3.1.2.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + 3 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 6 (- \frac{1}{4})$

Etapa 3.1.2.1.7

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 3.1.2.1.7.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{4})}^{2}) - 6 (- \frac{1}{4})$

Etapa 3.1.2.1.7.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{4^{2}})) - 6 (- \frac{1}{4})$

Etapa 3.1.2.1.8

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + 3 (1 (\frac{1^{2}}{4^{2}})) - 6 (- \frac{1}{4})$

Etapa 3.1.2.1.9

Multiplique $\frac{1^{2}}{4^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + 3 (\frac{1^{2}}{4^{2}}) - 6 (- \frac{1}{4})$

Etapa 3.1.2.1.10

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + 3 (\frac{1}{4^{2}}) - 6 (- \frac{1}{4})$

Etapa 3.1.2.1.11

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + 3 (\frac{1}{16}) - 6 (- \frac{1}{4})$

Etapa 3.1.2.1.12

Combine $3$ e $\frac{1}{16}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + \frac{3}{16} - 6 (- \frac{1}{4})$

Etapa 3.1.2.1.13

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.1.2.1.13.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{4}$ para o numerador.

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + \frac{3}{16} - 6 (\frac{- 1}{4})$

Etapa 3.1.2.1.13.2

Fatore $2$ de $- 6$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + \frac{3}{16} + 2 (- 3) (\frac{- 1}{4})$

Etapa 3.1.2.1.13.3

Fatore $2$ de $4$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + \frac{3}{16} + 2 \cdot (- 3 \frac{- 1}{2 \cdot 2})$

Etapa 3.1.2.1.13.4

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + \frac{3}{16} + 2 \cdot (- 3 \frac{- 1}{2 \cdot 2})$

Etapa 3.1.2.1.13.5

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + \frac{3}{16} - 3 (\frac{- 1}{2})$

Etapa 3.1.2.1.14

Combine $- 3$ e $\frac{- 1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + \frac{3}{16} + \frac{- 3 \cdot - 1}{2}$

Etapa 3.1.2.1.15

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} + \frac{3}{16} + \frac{3}{2}$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique os termos.

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Etapa 3.1.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{- 1 + 3}{16} + \frac{3}{2}$

Etapa 3.1.2.2.2

Some $- 1$ e $3$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{2}{16} + \frac{3}{2}$

Etapa 3.1.2.2.3

Cancele o fator comum de $2$ e $16$ .

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Etapa 3.1.2.2.3.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{2 (1)}{16} + \frac{3}{2}$

Etapa 3.1.2.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.3.2.1

Fatore $2$ de $16$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8} + \frac{3}{2}$

Etapa 3.1.2.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8} + \frac{3}{2}$

Etapa 3.1.2.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{8} + \frac{3}{2}$

Etapa 3.1.2.3

Para escrever $\frac{3}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{8} + \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 3.1.2.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $8$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.4.1

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{8} + \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.1.2.4.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{8} + \frac{3 \cdot 4}{8}$

Etapa 3.1.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1 + 3 \cdot 4}{8}$

Etapa 3.1.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1.2.6.1

Multiplique $3$ por $4$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1 + 12}{8}$

Etapa 3.1.2.6.2

Some $1$ e $12$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{13}{8}$

Etapa 3.1.2.7

A resposta final é $\frac{13}{8}$ .

$\frac{13}{8}$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $- \frac{1}{4}$ em $f (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x$ é $(- \frac{1}{4}, \frac{13}{8})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- \frac{1}{4}, \frac{13}{8})$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - \frac{1}{4}) \cup (- \frac{1}{4}, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - \frac{1}{4})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.35$ na expressão.

$f'' (- 0.35) = 24 (- 0.35) + 6$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $24$ por $- 0.35$ .

$f'' (- 0.35) = - 8.4 + 6$

Etapa 5.2.2

Some $- 8.4$ e $6$ .

$f'' (- 0.35) = - 2.4$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 2.4$ .

$- 2.4$

Etapa 5.3

Em $- 0.35$ , a segunda derivada é $- 2.4$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, - \frac{1}{4})$ .

Decréscimo em $(- \infty, - \frac{1}{4})$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \frac{1}{4}, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.15$ na expressão.

$f'' (- 0.15) = 24 (- 0.15) + 6$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $24$ por $- 0.15$ .

$f'' (- 0.15) = - 3.6 + 6$

Etapa 6.2.2

Some $- 3.6$ e $6$ .

$f'' (- 0.15) = 2.4$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $2.4$ .

$2.4$

Etapa 6.3

Em $- 0.15$ , a segunda derivada é $2.4$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \frac{1}{4}, \infty)$ .

Acréscimo em $(- \frac{1}{4}, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 7

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, o ponto de inflexão é $(- \frac{1}{4}, \frac{13}{8})$ .

$(- \frac{1}{4}, \frac{13}{8})$

Etapa 8