Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3} + 24 x^{2} + 32$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{4} + 16 x^{3} + 24 x^{2} + 32$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{4}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $4$ por $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16 x^{3}$ em relação a $x$ é $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 16 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $3$ por $16$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Etapa 1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Como $24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $24 x^{2}$ em relação a $x$ é $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Etapa 1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (32)$

Etapa 1.1.4.3

Multiplique $2$ por $24$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x + \frac{d}{d x} (32)$

Etapa 1.1.5

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.1

Como $32$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $32$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x + 0$

Etapa 1.1.5.2

Some $12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x$ e $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x)$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x^{3}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x)$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x)$

Etapa 1.2.2.3

Multiplique $3$ por $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x)$

Etapa 1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Como $48$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $48 x^{2}$ em relação a $x$ é $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x)$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 48 (2 x) + \frac{d}{d x} (48 x)$

Etapa 1.2.3.3

Multiplique $2$ por $48$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 96 x + \frac{d}{d x} (48 x)$

Etapa 1.2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [48 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Como $48$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $48 x$ em relação a $x$ é $48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 96 x + 48 \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 96 x + 48 \cdot 1$

Etapa 1.2.4.3

Multiplique $48$ por $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 96 x + 48$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $36 x^{2} + 96 x + 48$ .

$36 x^{2} + 96 x + 48$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $36 x^{2} + 96 x + 48 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$36 x^{2} + 96 x + 48 = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Fatore $12$ de $36 x^{2} + 96 x + 48$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Fatore $12$ de $36 x^{2}$ .

$12 (3 x^{2}) + 96 x + 48 = 0$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $12$ de $96 x$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (8 x) + 48 = 0$

Etapa 2.2.1.3

Fatore $12$ de $48$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (8 x) + 12 (4) = 0$

Etapa 2.2.1.4

Fatore $12$ de $12 (3 x^{2}) + 12 (8 x)$ .

$12 (3 x^{2} + 8 x) + 12 (4) = 0$

Etapa 2.2.1.5

Fatore $12$ de $12 (3 x^{2} + 8 x) + 12 (4)$ .

$12 (3 x^{2} + 8 x + 4) = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot 4 = 12$ e cuja soma é $b = 8$ .

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Etapa 2.2.2.1.1.1

Fatore $8$ de $8 x$ .

$12 (3 x^{2} + 8 (x) + 4) = 0$

Etapa 2.2.2.1.1.2

Reescreva $8$ como $2$ mais $6$

$12 (3 x^{2} + (2 + 6) x + 4) = 0$

Etapa 2.2.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$12 (3 x^{2} + 2 x + 6 x + 4) = 0$

Etapa 2.2.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.2.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$12 ((3 x^{2} + 2 x) + 6 x + 4) = 0$

Etapa 2.2.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$12 (x (3 x + 2) + 2 (3 x + 2)) = 0$

Etapa 2.2.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x + 2$ .

$12 ((3 x + 2) (x + 2)) = 0$

Etapa 2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$12 (3 x + 2) (x + 2) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$x + 2 = 0$

Etapa 2.4

Defina $3 x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Defina $3 x + 2$ como igual a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $3 x + 2 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$3 x = - 2$

Etapa 2.4.2.2

Divida cada termo em $3 x = - 2$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = - 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Etapa 2.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Etapa 2.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Etapa 2.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.4.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{2}{3}$

Etapa 2.5

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 2.5.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $12 (3 x + 2) (x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{2}{3}, - 2$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

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Etapa 3.1

Substitua $- \frac{2}{3}$ em $f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3} + 24 x^{2} + 32$ para encontrar o valor de $y$ .

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Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{2}{3}$ na expressão.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 {(- \frac{2}{3})}^{4} + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 ({(- 1)}^{4} {(\frac{2}{3})}^{4}) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Etapa 3.1.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 ({(- 1)}^{4} (\frac{2^{4}}{3^{4}})) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Etapa 3.1.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (1 (\frac{2^{4}}{3^{4}})) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Etapa 3.1.2.1.3

Multiplique $\frac{2^{4}}{3^{4}}$ por $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{2^{4}}{3^{4}}) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Etapa 3.1.2.1.4

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3^{4}}) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Etapa 3.1.2.1.5

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{81}) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Etapa 3.1.2.1.6

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.6.1

Fatore $3$ de $81$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3 (27)}) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Etapa 3.1.2.1.6.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3 \cdot 27}) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Etapa 3.1.2.1.6.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Etapa 3.1.2.1.7

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.7.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 16 ({(- 1)}^{3} {(\frac{2}{3})}^{3}) + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Etapa 3.1.2.1.7.2

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 16 ({(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{3^{3}})) + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Etapa 3.1.2.1.8

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 16 (- \frac{2^{3}}{3^{3}}) + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Etapa 3.1.2.1.9

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 16 (- \frac{8}{3^{3}}) + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Etapa 3.1.2.1.10

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 16 (- \frac{8}{27}) + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Etapa 3.1.2.1.11

Multiplique $16 (- \frac{8}{27})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.11.1

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - 16 (\frac{8}{27}) + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Etapa 3.1.2.1.11.2

Combine $- 16$ e $\frac{8}{27}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + \frac{- 16 \cdot 8}{27} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Etapa 3.1.2.1.11.3

Multiplique $- 16$ por $8$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + \frac{- 128}{27} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Etapa 3.1.2.1.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Etapa 3.1.2.1.13

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.13.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 24 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}) + 32$

Etapa 3.1.2.1.13.2

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 24 ({(- 1)}^{2} (\frac{2^{2}}{3^{2}})) + 32$

Etapa 3.1.2.1.14

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 24 (1 (\frac{2^{2}}{3^{2}})) + 32$

Etapa 3.1.2.1.15

Multiplique $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 24 (\frac{2^{2}}{3^{2}}) + 32$

Etapa 3.1.2.1.16

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 24 (\frac{4}{3^{2}}) + 32$

Etapa 3.1.2.1.17

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 24 (\frac{4}{9}) + 32$

Etapa 3.1.2.1.18

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.18.1

Fatore $3$ de $24$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 3 (8) (\frac{4}{9}) + 32$

Etapa 3.1.2.1.18.2

Fatore $3$ de $9$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 3 \cdot (8 (\frac{4}{3 \cdot 3})) + 32$

Etapa 3.1.2.1.18.3

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 3 \cdot (8 (\frac{4}{3 \cdot 3})) + 32$

Etapa 3.1.2.1.18.4

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 8 (\frac{4}{3}) + 32$

Etapa 3.1.2.1.19

Combine $8$ e $\frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + \frac{8 \cdot 4}{3} + 32$

Etapa 3.1.2.1.20

Multiplique $8$ por $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + \frac{32}{3} + 32$

Etapa 3.1.2.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{2}{3}) = 32 + \frac{16 - 128}{27} + \frac{32}{3}$

Etapa 3.1.2.2.2

Subtraia $128$ de $16$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 32 + \frac{- 112}{27} + \frac{32}{3}$

Etapa 3.1.2.3

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.3.1

Escreva $32$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32}{1} + \frac{- 112}{27} + \frac{32}{3}$

Etapa 3.1.2.3.2

Multiplique $\frac{32}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32}{1} \cdot \frac{27}{27} + \frac{- 112}{27} + \frac{32}{3}$

Etapa 3.1.2.3.3

Multiplique $\frac{32}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32 \cdot 27}{27} + \frac{- 112}{27} + \frac{32}{3}$

Etapa 3.1.2.3.4

Multiplique $\frac{32}{3}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32 \cdot 27}{27} + \frac{- 112}{27} + \frac{32}{3} \cdot \frac{9}{9}$

Etapa 3.1.2.3.5

Multiplique $\frac{32}{3}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32 \cdot 27}{27} + \frac{- 112}{27} + \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Etapa 3.1.2.3.6

Multiplique $3$ por $9$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32 \cdot 27}{27} + \frac{- 112}{27} + \frac{32 \cdot 9}{27}$

Etapa 3.1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32 \cdot 27 - 112 + 32 \cdot 9}{27}$

Etapa 3.1.2.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.5.1

Multiplique $32$ por $27$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{864 - 112 + 32 \cdot 9}{27}$

Etapa 3.1.2.5.2

Multiplique $32$ por $9$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{864 - 112 + 288}{27}$

Etapa 3.1.2.6

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.6.1

Subtraia $112$ de $864$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{752 + 288}{27}$

Etapa 3.1.2.6.2

Some $752$ e $288$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{1040}{27}$

Etapa 3.1.2.7

A resposta final é $\frac{1040}{27}$ .

$\frac{1040}{27}$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $- \frac{2}{3}$ em $f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3} + 24 x^{2} + 32$ é $(- \frac{2}{3}, \frac{1040}{27})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1040}{27})$

Etapa 3.3

Substitua $- 2$ em $f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3} + 24 x^{2} + 32$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = 3 {(- 2)}^{4} + 16 {(- 2)}^{3} + 24 {(- 2)}^{2} + 32$

Etapa 3.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $4$ .

$f (- 2) = 3 \cdot 16 + 16 {(- 2)}^{3} + 24 {(- 2)}^{2} + 32$

Etapa 3.3.2.1.2

Multiplique $3$ por $16$ .

$f (- 2) = 48 + 16 {(- 2)}^{3} + 24 {(- 2)}^{2} + 32$

Etapa 3.3.2.1.3

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f (- 2) = 48 + 16 \cdot - 8 + 24 {(- 2)}^{2} + 32$

Etapa 3.3.2.1.4

Multiplique $16$ por $- 8$ .

$f (- 2) = 48 - 128 + 24 {(- 2)}^{2} + 32$

Etapa 3.3.2.1.5

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f (- 2) = 48 - 128 + 24 \cdot 4 + 32$

Etapa 3.3.2.1.6

Multiplique $24$ por $4$ .

$f (- 2) = 48 - 128 + 96 + 32$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Subtraia $128$ de $48$ .

$f (- 2) = - 80 + 96 + 32$

Etapa 3.3.2.2.2

Some $- 80$ e $96$ .

$f (- 2) = 16 + 32$

Etapa 3.3.2.2.3

Some $16$ e $32$ .

$f (- 2) = 48$

Etapa 3.3.2.3

A resposta final é $48$ .

$48$

Etapa 3.4

O ponto encontrado ao substituir $- 2$ em $f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3} + 24 x^{2} + 32$ é $(- 2, 48)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- 2, 48)$

Etapa 3.5

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1040}{27}), (- 2, 48)$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 2)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 2.1$ na expressão.

$f'' (- 2.1) = 36 {(- 2.1)}^{2} + 96 (- 2.1) + 48$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 2.1$ à potência de $2$ .

$f'' (- 2.1) = 36 \cdot 4.41 + 96 (- 2.1) + 48$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $36$ por $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = 158.76 + 96 (- 2.1) + 48$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $96$ por $- 2.1$ .

$f'' (- 2.1) = 158.76 - 201.6 + 48$

Etapa 5.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Subtraia $201.6$ de $158.76$ .

$f'' (- 2.1) = - 42.84 + 48$

Etapa 5.2.2.2

Some $- 42.84$ e $48$ .

$f'' (- 2.1) = 5.16$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $5.16$ .

$5.16$

Etapa 5.3

Em $- 2.1$ , a segunda derivada é $5.16$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, - 2)$ .

Acréscimo em $(- \infty, - 2)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- 2, - \frac{2}{3})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.\overline{3}$ na expressão.

$f'' (- 1.\overline{3}) = 36 {(- 1.\overline{3})}^{2} + 96 (- 1.\overline{3}) + 48$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 1.\overline{3}$ à potência de $2$ .

$f'' (- 1.\overline{3}) = 36 \cdot 1.\overline{7} + 96 (- 1.\overline{3}) + 48$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $36$ por $1.\overline{7}$ .

$f'' (- 1.\overline{3}) = 64 + 96 (- 1.\overline{3}) + 48$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $96$ por $- 1.\overline{3}$ .

$f'' (- 1.\overline{3}) = 64 - 128 + 48$

Etapa 6.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Subtraia $128$ de $64$ .

$f'' (- 1.\overline{3}) = - 64 + 48$

Etapa 6.2.2.2

Some $- 64$ e $48$ .

$f'' (- 1.\overline{3}) = - 16$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 16$ .

$- 16$

Etapa 6.3

Em $- 1.\overline{3}$ , a segunda derivada é $- 16$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- 2, - \frac{2}{3})$ .

Decréscimo em $(- 2, - \frac{2}{3})$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- \frac{2}{3}, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.5\overline{6}$ na expressão.

$f'' (- 0.5\overline{6}) = 36 {(- 0.5\overline{6})}^{2} + 96 (- 0.5\overline{6}) + 48$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $- 0.5\overline{6}$ à potência de $2$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = 36 \cdot 0.32\overline{1} + 96 (- 0.5\overline{6}) + 48$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $36$ por $0.32\overline{1}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = 11.55\overline{9} + 96 (- 0.5\overline{6}) + 48$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $96$ por $- 0.5\overline{6}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = 11.55\overline{9} - 54.4 + 48$

Etapa 7.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Subtraia $54.4$ de $11.55\overline{9}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = - 42.84 + 48$

Etapa 7.2.2.2

Some $- 42.84$ e $48$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = 5.16$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $5.16$ .

$5.16$

Etapa 7.3

Em $- 0.5\overline{6}$ , a segunda derivada é $5.16$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \frac{2}{3}, \infty)$ .

Acréscimo em $(- \frac{2}{3}, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 2, 48), (- \frac{2}{3}, \frac{1040}{27})$ .

$(- 2, 48), (- \frac{2}{3}, \frac{1040}{27})$

Etapa 9