Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2}$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{4}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $4$ por $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Etapa 1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2}$

Etapa 1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 12 x^{2} - 12 (2 x)$

Etapa 1.1.4.3

Multiplique $2$ por $- 12$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $12 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x^{3}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Etapa 1.2.2.3

Multiplique $3$ por $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Etapa 1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x^{2}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Etapa 1.2.3.3

Multiplique $2$ por $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Etapa 1.2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Como $- 24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 24 x$ em relação a $x$ é $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 24 \frac{d}{d x} x$

Etapa 1.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 24 \cdot 1$

Etapa 1.2.4.3

Multiplique $- 24$ por $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 24$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $36 x^{2} + 24 x - 24$ .

$36 x^{2} + 24 x - 24$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $36 x^{2} + 24 x - 24 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$36 x^{2} + 24 x - 24 = 0$

Etapa 2.2

Fatore $12$ de $36 x^{2} + 24 x - 24$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Fatore $12$ de $36 x^{2}$ .

$12 (3 x^{2}) + 24 x - 24 = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $12$ de $24 x$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (2 x) - 24 = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore $12$ de $- 24$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (2 x) + 12 (- 2) = 0$

Etapa 2.2.4

Fatore $12$ de $12 (3 x^{2}) + 12 (2 x)$ .

$12 (3 x^{2} + 2 x) + 12 (- 2) = 0$

Etapa 2.2.5

Fatore $12$ de $12 (3 x^{2} + 2 x) + 12 (- 2)$ .

$12 (3 x^{2} + 2 x - 2) = 0$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $12 (3 x^{2} + 2 x - 2) = 0$ por $12$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $12 (3 x^{2} + 2 x - 2) = 0$ por $12$ .

$\frac{12 (3 x^{2} + 2 x - 2)}{12} = \frac{0}{12}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{12 (3 x^{2} + 2 x - 2)}{12} = \frac{0}{12}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $3 x^{2} + 2 x - 2$ por $1$ .

$3 x^{2} + 2 x - 2 = \frac{0}{12}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Divida $0$ por $12$ .

$3 x^{2} + 2 x - 2 = 0$

Etapa 2.4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.5

Substitua os valores $a = 3$ , $b = 2$ e $c = - 2$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 2)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 3 \cdot - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.6.1.2.2

Multiplique $- 12$ por $- 2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.6.1.3

Some $4$ e $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.6.1.4

Reescreva $28$ como $2^{2} \cdot 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1.4.1

Fatore $4$ de $28$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.6.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.6.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.6.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Etapa 2.6.3

Simplifique $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{7}}{3}$

Etapa 2.7

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.7.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 3 \cdot - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.7.1.2.2

Multiplique $- 12$ por $- 2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.7.1.3

Some $4$ e $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.7.1.4

Reescreva $28$ como $2^{2} \cdot 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1.4.1

Fatore $4$ de $28$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.7.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.7.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.7.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Etapa 2.7.3

Simplifique $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{7}}{3}$

Etapa 2.7.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{- 1 + \sqrt{7}}{3}$

Etapa 2.7.5

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{7}}{3}$

Etapa 2.7.6

Fatore $- 1$ de $\sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{7})}{3}$

Etapa 2.7.7

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{7})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - \sqrt{7})}{3}$

Etapa 2.7.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1 - \sqrt{7}}{3}$

Etapa 2.8

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.8.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 3 \cdot - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.8.1.2.2

Multiplique $- 12$ por $- 2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.8.1.3

Some $4$ e $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.8.1.4

Reescreva $28$ como $2^{2} \cdot 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.4.1

Fatore $4$ de $28$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.8.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.8.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.8.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Etapa 2.8.3

Simplifique $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{7}}{3}$

Etapa 2.8.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{- 1 - \sqrt{7}}{3}$

Etapa 2.8.5

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{7}}{3}$

Etapa 2.8.6

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{7})}{3}$

Etapa 2.8.7

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (\sqrt{7})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + \sqrt{7})}{3}$

Etapa 2.8.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1 + \sqrt{7}}{3}$

Etapa 2.9

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{1 - \sqrt{7}}{3}, - \frac{1 + \sqrt{7}}{3}$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $0.54858377$ em $f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $0.54858377$ na expressão.

$f (0.54858377) = 3 {(0.54858377)}^{4} + 4 {(0.54858377)}^{3} - 12 {(0.54858377)}^{2}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Eleve $0.54858377$ à potência de $4$ .

$f (0.54858377) = 3 \cdot 0.09056738 + 4 {(0.54858377)}^{3} - 12 {(0.54858377)}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.2

Multiplique $3$ por $0.09056738$ .

$f (0.54858377) = 0.27170214 + 4 {(0.54858377)}^{3} - 12 {(0.54858377)}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.3

Eleve $0.54858377$ à potência de $3$ .

$f (0.54858377) = 0.27170214 + 4 \cdot 0.16509307 - 12 {(0.54858377)}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.4

Multiplique $4$ por $0.16509307$ .

$f (0.54858377) = 0.27170214 + 0.66037231 - 12 {(0.54858377)}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.5

Eleve $0.54858377$ à potência de $2$ .

$f (0.54858377) = 0.27170214 + 0.66037231 - 12 \cdot 0.30094415$

Etapa 3.1.2.1.6

Multiplique $- 12$ por $0.30094415$ .

$f (0.54858377) = 0.27170214 + 0.66037231 - 3.61132983$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1

Some $0.27170214$ e $0.66037231$ .

$f (0.54858377) = 0.93207446 - 3.61132983$

Etapa 3.1.2.2.2

Subtraia $3.61132983$ de $0.93207446$ .

$f (0.54858377) = - 2.67925537$

Etapa 3.1.2.3

A resposta final é $- 2.67925537$ .

$- 2.67925537$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $0.54858377$ em $f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2}$ é $(0.54858377, - 2.67925537)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(0.54858377, - 2.67925537)$

Etapa 3.3

Substitua $- 1.21525043$ em $f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.21525043$ na expressão.

$f (- 1.21525043) = 3 {(- 1.21525043)}^{4} + 4 {(- 1.21525043)}^{3} - 12 {(- 1.21525043)}^{2}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Eleve $- 1.21525043$ à potência de $4$ .

$f (- 1.21525043) = 3 \cdot 2.18103755 + 4 {(- 1.21525043)}^{3} - 12 {(- 1.21525043)}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.2

Multiplique $3$ por $2.18103755$ .

$f (- 1.21525043) = 6.54311266 + 4 {(- 1.21525043)}^{3} - 12 {(- 1.21525043)}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.3

Eleve $- 1.21525043$ à potência de $3$ .

$f (- 1.21525043) = 6.54311266 + 4 \cdot - 1.7947227 - 12 {(- 1.21525043)}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.4

Multiplique $4$ por $- 1.7947227$ .

$f (- 1.21525043) = 6.54311266 - 7.17889083 - 12 {(- 1.21525043)}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.5

Eleve $- 1.21525043$ à potência de $2$ .

$f (- 1.21525043) = 6.54311266 - 7.17889083 - 12 \cdot 1.47683362$

Etapa 3.3.2.1.6

Multiplique $- 12$ por $1.47683362$ .

$f (- 1.21525043) = 6.54311266 - 7.17889083 - 17.72200349$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Subtraia $7.17889083$ de $6.54311266$ .

$f (- 1.21525043) = - 0.63577816 - 17.72200349$

Etapa 3.3.2.2.2

Subtraia $17.72200349$ de $- 0.63577816$ .

$f (- 1.21525043) = - 18.35778166$

Etapa 3.3.2.3

A resposta final é $- 18.35778166$ .

$- 18.35778166$

Etapa 3.4

O ponto encontrado ao substituir $- 1.21525043$ em $f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2}$ é $(- 1.21525043, - 18.35778166)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- 1.21525043, - 18.35778166)$

Etapa 3.5

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(0.54858377, - 2.67925537), (- 1.21525043, - 18.35778166)$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - 1.21525043) \cup (- 1.21525043, 0.54858377) \cup (0.54858377, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 1.21525043)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.31525043$ na expressão.

$f'' (- 1.31525043) = 36 {(- 1.31525043)}^{2} + 24 (- 1.31525043) - 24$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 1.31525043$ à potência de $2$ .

$f'' (- 1.31525043) = 36 \cdot 1.72988371 + 24 (- 1.31525043) - 24$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $36$ por $1.72988371$ .

$f'' (- 1.31525043) = 62.27581363 + 24 (- 1.31525043) - 24$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $24$ por $- 1.31525043$ .

$f'' (- 1.31525043) = 62.27581363 - 31.56601048 - 24$

Etapa 5.2.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Subtraia $31.56601048$ de $62.27581363$ .

$f'' (- 1.31525043) = 30.70980314 - 24$

Etapa 5.2.2.2

Subtraia $24$ de $30.70980314$ .

$f'' (- 1.31525043) = 6.70980314$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $6.70980314$ .

$6.70980314$

Etapa 5.3

Em $- 1.31525043$ , a segunda derivada é $6.70980314$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, - 1.21525043)$ .

Acréscimo em $(- \infty, - 1.21525043)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- 1.21525043, 0.54858377)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.\overline{3}$ na expressão.

$f'' (- 0.\overline{3}) = 36 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 24 (- 0.\overline{3}) - 24$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 0.\overline{3}$ à potência de $2$ .

$f'' (- 0.\overline{3}) = 36 \cdot 0.\overline{1} + 24 (- 0.\overline{3}) - 24$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $36$ por $0.\overline{1}$ .

$f'' (- 0.\overline{3}) = 4 + 24 (- 0.\overline{3}) - 24$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $24$ por $- 0.\overline{3}$ .

$f'' (- 0.\overline{3}) = 4 - 8 - 24$

Etapa 6.2.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Subtraia $8$ de $4$ .

$f'' (- 0.\overline{3}) = - 4 - 24$

Etapa 6.2.2.2

Subtraia $24$ de $- 4$ .

$f'' (- 0.\overline{3}) = - 28$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 28$ .

$- 28$

Etapa 6.3

Em $- 0.\overline{3}$ , a segunda derivada é $- 28$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- 1.21525043, 0.54858377)$ .

Decréscimo em $(- 1.21525043, 0.54858377)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(0.54858377, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0.64858377$ na expressão.

$f'' (0.64858377) = 36 {(0.64858377)}^{2} + 24 (0.64858377) - 24$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $0.64858377$ à potência de $2$ .

$f'' (0.64858377) = 36 \cdot 0.4206609 + 24 (0.64858377) - 24$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $36$ por $0.4206609$ .

$f'' (0.64858377) = 15.14379265 + 24 (0.64858377) - 24$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $24$ por $0.64858377$ .

$f'' (0.64858377) = 15.14379265 + 15.56601048 - 24$

Etapa 7.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Some $15.14379265$ e $15.56601048$ .

$f'' (0.64858377) = 30.70980314 - 24$

Etapa 7.2.2.2

Subtraia $24$ de $30.70980314$ .

$f'' (0.64858377) = 6.70980314$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $6.70980314$ .

$6.70980314$

Etapa 7.3

Em $0.64858377$ , a segunda derivada é $6.70980314$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(0.54858377, \infty)$ .

Acréscimo em $(0.54858377, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 1.21525043, - 18.35778166), (0.54858377, - 2.67925537)$ .

$(- 1.21525043, - 18.35778166), (0.54858377, - 2.67925537)$

Etapa 9