Cálculo Exemplos

$f (x) = (x^{2}) (9 \sqrt{x} + 5)$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (9 x^{\frac{1}{2}} + 5)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 9 x^{\frac{1}{2}} + 5$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}} + 5] + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 x^{\frac{1}{2}} + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.2

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$x^{2} (9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 8

Combine frações.

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Etapa 8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{2} (9 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{2} (9 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 8.3

Combine $9$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$x^{2} (\frac{9 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 8.4

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [5]) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 9

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{2} (\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0) + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 10

Combine frações.

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Etapa 10.1

Some $\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$x^{2} \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 10.2

Combine $x^{2}$ e $\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 10.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 10.3.1

Mova $9$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$\frac{9 \cdot x^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 10.3.2

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{9 x^{2} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 11

Multiplique $x^{2}$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 11.1

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 (x^{- \frac{1}{2}} x^{2})}{2} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 11.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{9 x^{- \frac{1}{2} + 2}}{2} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 11.3

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}{2} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 11.4

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}{2} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 11.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{9 x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}{2} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 11.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.6.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{9 x^{\frac{- 1 + 4}{2}}}{2} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 11.6.2

Some $- 1$ e $4$ .

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) (2 x)$

Etapa 13

Mova $2$ para a esquerda de $9 x^{\frac{1}{2}} + 5$ .

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 \cdot (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) x$

Etapa 14

Combine $\frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ e $2 (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) x$ usando um denominador comum.

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Etapa 14.1

Mova $9 x^{\frac{1}{2}} + 5$ .

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 5)$

Etapa 14.2

Para escrever $2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 5)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 14.3

Combine $2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 5)$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \cdot 2}{2}$

Etapa 14.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 2 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 5) \cdot 2}{2}$

Etapa 15

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 4 x (9 x^{\frac{1}{2}} + 5)}{2}$

Etapa 16

Simplifique.

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Etapa 16.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 4 x (9 x^{\frac{1}{2}}) + 4 x \cdot 5}{2}$

Etapa 16.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 16.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 16.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 9 x \cdot x^{\frac{1}{2}} + 4 x \cdot 5}{2}$

Etapa 16.2.1.2

Multiplique $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 16.2.1.2.1

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 9 (x^{\frac{1}{2}} x) + 4 x \cdot 5}{2}$

Etapa 16.2.1.2.2

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ .

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Etapa 16.2.1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 9 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) + 4 x \cdot 5}{2}$

Etapa 16.2.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 9 x^{\frac{1}{2} + 1} + 4 x \cdot 5}{2}$

Etapa 16.2.1.2.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 9 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + 4 x \cdot 5}{2}$

Etapa 16.2.1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 9 x^{\frac{1 + 2}{2}} + 4 x \cdot 5}{2}$

Etapa 16.2.1.2.5

Some $1$ e $2$ .

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 9 x^{\frac{3}{2}} + 4 x \cdot 5}{2}$

Etapa 16.2.1.3

Multiplique $4$ por $9$ .

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 36 x^{\frac{3}{2}} + 4 x \cdot 5}{2}$

Etapa 16.2.1.4

Multiplique $5$ por $4$ .

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 36 x^{\frac{3}{2}} + 20 x}{2}$

Etapa 16.2.2

Some $9 x^{\frac{3}{2}}$ e $36 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{45 x^{\frac{3}{2}} + 20 x}{2}$

Etapa 16.3

Reordene os termos.

$\frac{20 x + 45 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 16.4

Fatore $5 x$ de $20 x + 45 x^{\frac{3}{2}}$ .

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Etapa 16.4.1

Fatore $5 x$ de $20 x$ .

$\frac{5 x (4) + 45 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 16.4.2

Fatore $5 x$ de $45 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{5 x (4) + 5 x (9 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Etapa 16.4.3

Fatore $5 x$ de $5 x (4) + 5 x (9 x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{5 x (4 + 9 x^{\frac{1}{2}})}{2}$